Câu hỏi 37
Cho $n$ là một số nguyên dương cố định. Cho $X$ là một tập hữu hạn và $f_1, f_2, \dots, f_n$ và $g_1, g_2, \dots, g_n: X \to [0, 1]$ là các hàm số thỏa mãn
$$
\sum_{x \in X} f_i(x) = \sum_{x \in X} g_j(x) = S \quad \text{và} \quad \sum_{x \in X} f_i(x)g_j(x) = |i - j|
$$
với mọi $1 \le i, j \le n$. Ở đây $[0, 1] = \{0 \le t \le 1\}$ là đoạn đơn vị.
(1) Chứng minh rằng $S \ge n - 1$.
(2) Với $S = n - 1$, hãy tìm một ví dụ về tập hữu hạn $X$ và các hàm số $f_1, f_2, \dots, f_n$ và $g_1, g_2, \dots, g_n: X \to [0, 1]$ thỏa mãn điều kiện của bài toán.
(Otgonbayar Uuye)
$$
\sum_{x \in X} f_i(x) = \sum_{x \in X} g_j(x) = S \quad \text{và} \quad \sum_{x \in X} f_i(x)g_j(x) = |i - j|
$$
với mọi $1 \le i, j \le n$. Ở đây $[0, 1] = \{0 \le t \le 1\}$ là đoạn đơn vị.
(1) Chứng minh rằng $S \ge n - 1$.
(2) Với $S = n - 1$, hãy tìm một ví dụ về tập hữu hạn $X$ và các hàm số $f_1, f_2, \dots, f_n$ và $g_1, g_2, \dots, g_n: X \to [0, 1]$ thỏa mãn điều kiện của bài toán.
(Otgonbayar Uuye)