Câu hỏi 68
Cho $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ là một hàm số liên tục.
a) Chứng minh rằng
$$
\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x^n) dx = f(0).
$$
b) Nếu $f(0) = 0$ và $f$ có đạo hàm bên phải tại $0$, chứng minh rằng các giới hạn sau tồn tại, hữu hạn và bằng nhau.
$$
\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{f(x)}{x} dx \quad \text{và} \quad \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \int_{0}^{1} f(x^n) dx \right)
$$
a) Chứng minh rằng
$$
\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x^n) dx = f(0).
$$
b) Nếu $f(0) = 0$ và $f$ có đạo hàm bên phải tại $0$, chứng minh rằng các giới hạn sau tồn tại, hữu hạn và bằng nhau.
$$
\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{f(x)}{x} dx \quad \text{và} \quad \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \int_{0}^{1} f(x^n) dx \right)
$$