Câu hỏi 65
Cho $p$ là một số nguyên tố, $n$ là một số nguyên dương không chia hết cho $p$, và $\mathbb{K}$ là một trường có $p^n$ phần tử, với phần tử đơn vị $1_{\mathbb{K}}$ và phần tử không $\hat{0} = 0_{\mathbb{K}}$. Với mọi $m \in \mathbb{N}^*$ ta kí hiệu $\hat{m} = \underbrace{1_{\mathbb{K}} + 1_{\mathbb{K}} + \dots + 1_{\mathbb{K}}}_{m \text{ lần}}$ và định nghĩa đa thức
$$
f_m = \sum_{k=0}^{m} (-1)^{m-k} \widehat{C_m^k} X^{p^k} \in \mathbb{K}[X].
$$
a) Chứng minh rằng tập nghiệm của đa thức $f_1$ là $\{\hat{k} \mid k \in \{0, 1, \dots, p-1\}\}$.
b) Cho $m \in \mathbb{N}^*$ tùy ý. Xác định tập nghiệm trong trường $\mathbb{K}$ của đa thức $f_m$.
$$
f_m = \sum_{k=0}^{m} (-1)^{m-k} \widehat{C_m^k} X^{p^k} \in \mathbb{K}[X].
$$
a) Chứng minh rằng tập nghiệm của đa thức $f_1$ là $\{\hat{k} \mid k \in \{0, 1, \dots, p-1\}\}$.
b) Cho $m \in \mathbb{N}^*$ tùy ý. Xác định tập nghiệm trong trường $\mathbb{K}$ của đa thức $f_m$.