Câu hỏi 61
Cho $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là một hàm số có tính chất: tồn tại một hàm số khả vi $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ và một dãy số $(a_n)_{n \ge 1}$ gồm các số hạng dương thực sự với $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, sao cho
$$
g'(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x + a_n) - f(x)}{a_n},
$$
với mọi $x \in \mathbb{R}$.
a) Hãy cho một ví dụ về hàm $f$ như vậy mà không khả vi tại bất kì điểm $x \in \mathbb{R}$ nào.
b) Giả sử $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng $f$ khả vi trên $\mathbb{R}$.
$$
g'(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x + a_n) - f(x)}{a_n},
$$
với mọi $x \in \mathbb{R}$.
a) Hãy cho một ví dụ về hàm $f$ như vậy mà không khả vi tại bất kì điểm $x \in \mathbb{R}$ nào.
b) Giả sử $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng $f$ khả vi trên $\mathbb{R}$.