Câu hỏi 60
a) Cho $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ là hai ma trận thỏa mãn $A^2B = A$. Chứng minh rằng
$$
(AB - BA)^2 = O_n.
$$
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $k \le n/2$, tồn tại hai ma trận $A$, $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ có tính chất $A^2B = A$ sao cho $\mathrm{rank}(AB - BA) = k$.
$$
(AB - BA)^2 = O_n.
$$
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $k \le n/2$, tồn tại hai ma trận $A$, $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ có tính chất $A^2B = A$ sao cho $\mathrm{rank}(AB - BA) = k$.