Câu hỏi 121
Cho hàm số tăng $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}_{\gt 0}$, trong đó $\mathbb{N}$ là tập tất cả các số nguyên dương và $\mathbb{R}_{\gt 0}$ là tập tất cả các số thực dương. Ta đưa ra các định nghĩa sau:
- Nếu các số nguyên dương $m, n$ thỏa mãn $f(mn) \neq f(m)f(n)$, ta gọi cặp $(m, n)$ là *bất tuân*.
- Số nguyên dương $m$ được gọi là *cực kỳ bất tuân* khi và chỉ khi với mọi số nguyên không âm $N$, luôn tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho tất cả các cặp $(m, n), (m, n + 1), \dots, (m, n + N)$ đều *bất tuân*.
Chứng minh rằng nếu tồn tại một cặp *bất tuân* thì phải tồn tại một số nguyên dương *cực kỳ bất tuân*.
- Nếu các số nguyên dương $m, n$ thỏa mãn $f(mn) \neq f(m)f(n)$, ta gọi cặp $(m, n)$ là *bất tuân*.
- Số nguyên dương $m$ được gọi là *cực kỳ bất tuân* khi và chỉ khi với mọi số nguyên không âm $N$, luôn tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho tất cả các cặp $(m, n), (m, n + 1), \dots, (m, n + N)$ đều *bất tuân*.
Chứng minh rằng nếu tồn tại một cặp *bất tuân* thì phải tồn tại một số nguyên dương *cực kỳ bất tuân*.