Câu hỏi 104
Cho số nguyên dương $k \gt 1$ và $n$ điểm phân biệt $a^{(1)} = (a_1^{(1)}, \dots, a_k^{(1)}), \dots, a^{(n)} = (a_1^{(n)}, \dots, a_k^{(n)})$ trong không gian $k$ chiều. Ta định nghĩa *điểm số* của $a^{(i)}$ là
$$
\prod_{j=1}^{k} \#\{i' \mid 1 \le i' \le n \text{ sao cho } \pi_j(a^{(i')}) = \pi_j(a^{(i)})\},
$$
trong đó $\#S$ là số phần tử của tập $S$, còn $\pi_j : \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^{k-1}$ là phép chiếu biến một điểm trong không gian $k$ chiều thành điểm nhận được bằng cách xóa tọa độ thứ $j$ của nó. Tìm số thực $t$ lớn nhất sao cho (với mọi $n$ và mọi bộ điểm như vậy) trung bình lũy thừa bậc $t$ của các điểm số của tất cả các $a^{(i)}$ không vượt quá $n$.
Chú ý: Trung bình lũy thừa bậc $t$ của các số thực dương $x_1, \dots, x_n$ được định nghĩa là
$$
\left( \frac{x_1^t + \dots + x_n^t}{n} \right)^{\frac{1}{t}} \quad (\text{nếu } t \neq 0); \qquad \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} \quad (\text{nếu } t = 0).
$$
$$
\prod_{j=1}^{k} \#\{i' \mid 1 \le i' \le n \text{ sao cho } \pi_j(a^{(i')}) = \pi_j(a^{(i)})\},
$$
trong đó $\#S$ là số phần tử của tập $S$, còn $\pi_j : \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^{k-1}$ là phép chiếu biến một điểm trong không gian $k$ chiều thành điểm nhận được bằng cách xóa tọa độ thứ $j$ của nó. Tìm số thực $t$ lớn nhất sao cho (với mọi $n$ và mọi bộ điểm như vậy) trung bình lũy thừa bậc $t$ của các điểm số của tất cả các $a^{(i)}$ không vượt quá $n$.
Chú ý: Trung bình lũy thừa bậc $t$ của các số thực dương $x_1, \dots, x_n$ được định nghĩa là
$$
\left( \frac{x_1^t + \dots + x_n^t}{n} \right)^{\frac{1}{t}} \quad (\text{nếu } t \neq 0); \qquad \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} \quad (\text{nếu } t = 0).
$$