Câu hỏi 91
Cho $Q$ là một tập các số nguyên tố (không nhất thiết hữu hạn). Với mỗi số nguyên dương $n$, xét phân tích thừa số nguyên tố của nó; định nghĩa $p(n)$ là tổng tất cả các số mũ và $q(n)$ là tổng các số mũ chỉ ứng với các số nguyên tố thuộc $Q$. Một số nguyên dương $n$ được gọi là *đặc biệt* nếu $p(n) + p(n + 1)$ và $q(n) + q(n + 1)$ đều là số chẵn. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $c \gt 0$ không phụ thuộc vào tập $Q$ sao cho với mọi số nguyên dương $N \gt 100$, số các số đặc biệt trong $[1, N]$ ít nhất là $cN$.
(Ví dụ, nếu $Q = \{3, 7\}$ thì $p(42) = 3$, $q(42) = 2$, $p(315) = 4$, $q(315) = 3$.)
(Ví dụ, nếu $Q = \{3, 7\}$ thì $p(42) = 3$, $q(42) = 2$, $p(315) = 4$, $q(315) = 3$.)