Câu hỏi 161
Cho $\mathcal{S}$ là một tập hợp hữu hạn khác rỗng gồm các số nguyên tố. Gọi $1 = b_{1} \lt b_{2} \lt \cdots$ là dãy tất cả các số nguyên dương mà mọi ước nguyên tố của chúng đều thuộc $\mathcal{S}$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, trừ hữu hạn giá trị, tồn tại các số nguyên dương $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ sao cho
$$
\frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{a_{2}}{b_{2}} + \cdots + \frac{a_{n}}{b_{n}} = \left\lceil \frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \cdots + \frac{1}{b_{n}} \right\rceil.
$$
$$
\frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{a_{2}}{b_{2}} + \cdots + \frac{a_{n}}{b_{n}} = \left\lceil \frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \cdots + \frac{1}{b_{n}} \right\rceil.
$$