Câu hỏi 139
Một số nguyên dương $N$ được gọi là *số tốt* nếu biểu diễn thập phân của $N$ có thể được chia thành ít nhất 5 đoạn chữ số, mỗi đoạn chứa ít nhất một chữ số khác 0, và các đoạn này (bỏ qua các chữ số 0 ở đầu) được xem như các số nguyên dương có thể chia thành hai nhóm, mỗi nhóm tạo thành một cấp số nhân khi sắp xếp theo thứ tự thích hợp. (Nếu một nhóm chỉ có một hoặc hai số nguyên dương thì cũng được coi là một cấp số nhân.)
Ví dụ, 20240327 là một số tốt. Thật vậy, nó có thể được chia thành $2|02|403|2|7$, tổng cộng 5 đoạn chữ số, với hai nhóm số nguyên dương (2, 2, 2) và (7, 403), mỗi nhóm tạo thành một cấp số nhân.
Cho $p = 1 + a + a^2 + \dots + a^m$ là một số nguyên tố, trong đó $a \gt 1$ và $m \gt 2$ là các số nguyên. Chứng minh rằng $\frac{10^{p-1}-1}{p}$ là một số tốt.
Ví dụ, 20240327 là một số tốt. Thật vậy, nó có thể được chia thành $2|02|403|2|7$, tổng cộng 5 đoạn chữ số, với hai nhóm số nguyên dương (2, 2, 2) và (7, 403), mỗi nhóm tạo thành một cấp số nhân.
Cho $p = 1 + a + a^2 + \dots + a^m$ là một số nguyên tố, trong đó $a \gt 1$ và $m \gt 2$ là các số nguyên. Chứng minh rằng $\frac{10^{p-1}-1}{p}$ là một số tốt.