Câu hỏi 132
Với số nguyên $n \ge 4$, nếu dãy số thực $x_1, x_2, \dots, x_n$ thỏa mãn ba đẳng thức sau:
$$
\begin{aligned}
x_1 + x_2 + \dots + x_n &= n, \\
x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 &= 2n, \\
x_1^3 + x_2^3 + \dots + x_n^3 &= 3n,
\end{aligned}
$$
thì ta gọi $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ là một bộ $n$ số *chuẩn*. Ta gọi hiệu giữa phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất trong $x_1, x_2, \dots, x_n$ là *độ rộng* của bộ $n$ số chuẩn đó.
(1) Tìm số thực lớn nhất $C$ sao cho với mọi số nguyên $n \ge 4$, độ rộng của mọi bộ $n$ số chuẩn đều không nhỏ hơn $C$.
(2) Với $C$ lớn nhất trong (1), chứng minh rằng tồn tại số thực $\lambda \gt 0$ sao cho với mọi số nguyên $n \ge 4$, độ rộng của mọi bộ $n$ số chuẩn đều lớn hơn $C + \frac{\lambda}{n^{1.5}}$.
$$
\begin{aligned}
x_1 + x_2 + \dots + x_n &= n, \\
x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 &= 2n, \\
x_1^3 + x_2^3 + \dots + x_n^3 &= 3n,
\end{aligned}
$$
thì ta gọi $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ là một bộ $n$ số *chuẩn*. Ta gọi hiệu giữa phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất trong $x_1, x_2, \dots, x_n$ là *độ rộng* của bộ $n$ số chuẩn đó.
(1) Tìm số thực lớn nhất $C$ sao cho với mọi số nguyên $n \ge 4$, độ rộng của mọi bộ $n$ số chuẩn đều không nhỏ hơn $C$.
(2) Với $C$ lớn nhất trong (1), chứng minh rằng tồn tại số thực $\lambda \gt 0$ sao cho với mọi số nguyên $n \ge 4$, độ rộng của mọi bộ $n$ số chuẩn đều lớn hơn $C + \frac{\lambda}{n^{1.5}}$.