Câu hỏi 130
Cho $a_1 \gt a_2 \gt \dots \gt a_n \gt 1$ là các số nguyên dương. Gọi $M$ là bội chung nhỏ nhất của $a_1, a_2, \dots, a_n$. Với một tập hữu hạn các số nguyên $X$, định nghĩa
$$
f(X) = \min_{1 \le i \le n} \sum_{x \in X} \left\{ \frac{x}{a_i} \right\}.
$$
Ở đây $\{u\} = u - \lfloor u \rfloor$ là phần lẻ của số thực $u$. Đặt $f(\emptyset) = 0$. Ta nói tập $X$ là *tối tiểu* nếu với mọi tập con thực sự $Y \subsetneq X$, ta có $f(Y) \lt f(X)$.
Chứng minh rằng nếu $X$ là một tập hữu hạn các số nguyên tối tiểu và $f(X) \ge \frac{2}{a_n}$ thì
$$
|X| \le f(X) \cdot M.
$$
Ở đây, với tập hữu hạn $X$, ta dùng $|X|$ để ký hiệu số phần tử của $X$.
$$
f(X) = \min_{1 \le i \le n} \sum_{x \in X} \left\{ \frac{x}{a_i} \right\}.
$$
Ở đây $\{u\} = u - \lfloor u \rfloor$ là phần lẻ của số thực $u$. Đặt $f(\emptyset) = 0$. Ta nói tập $X$ là *tối tiểu* nếu với mọi tập con thực sự $Y \subsetneq X$, ta có $f(Y) \lt f(X)$.
Chứng minh rằng nếu $X$ là một tập hữu hạn các số nguyên tối tiểu và $f(X) \ge \frac{2}{a_n}$ thì
$$
|X| \le f(X) \cdot M.
$$
Ở đây, với tập hữu hạn $X$, ta dùng $|X|$ để ký hiệu số phần tử của $X$.