Câu hỏi 128
Cố định một số vô tỉ $\alpha \gt 1$ và một số nguyên dương $L$ sao cho $L \gt \frac{\alpha^2}{\alpha - 1}$.
Cho số nguyên $x_1 \gt L$, định nghĩa dãy $\{x_n\}$ như sau: với mọi số nguyên $n \ge 1$,
$$
x_{n+1} = \begin{cases} \lfloor \alpha x_n \rfloor, & \text{nếu } x_n \le L, \\ \lfloor \frac{x_n}{\alpha} \rfloor, & \text{nếu } x_n \gt L. \end{cases}
$$
Ở đây, $\lfloor u \rfloor$ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $u$.
(1) Chứng minh rằng dãy $\{x_n\}$ tuần hoàn kể từ một lúc nào đó, tức là tồn tại các số nguyên dương $T$ và $N$ sao cho với mọi số nguyên $n \gt N$, ta có $x_{n+T} = x_n$.
(2) Chứng minh rằng số nguyên $T$ nhỏ nhất thỏa mãn (1) là một số lẻ và không phụ thuộc vào $x_1$.
Cho số nguyên $x_1 \gt L$, định nghĩa dãy $\{x_n\}$ như sau: với mọi số nguyên $n \ge 1$,
$$
x_{n+1} = \begin{cases} \lfloor \alpha x_n \rfloor, & \text{nếu } x_n \le L, \\ \lfloor \frac{x_n}{\alpha} \rfloor, & \text{nếu } x_n \gt L. \end{cases}
$$
Ở đây, $\lfloor u \rfloor$ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $u$.
(1) Chứng minh rằng dãy $\{x_n\}$ tuần hoàn kể từ một lúc nào đó, tức là tồn tại các số nguyên dương $T$ và $N$ sao cho với mọi số nguyên $n \gt N$, ta có $x_{n+T} = x_n$.
(2) Chứng minh rằng số nguyên $T$ nhỏ nhất thỏa mãn (1) là một số lẻ và không phụ thuộc vào $x_1$.