Câu hỏi 43
Cho $n \ge 3$ là một số nguyên dương. Trên bảng có viết các số nguyên dương thành hai hàng $a_1\ a_2\ \dots\ a_n\ b_1\ b_2\ \dots\ b_n$, trong đó các bộ $a_1, a_2, \dots, a_n$ và $b_1, b_2, \dots, b_n$ là các hoán vị nào đó của các số $1, 2, \dots, n$. Thầy giáo cho phép học sinh Dima sử dụng hai phép biến đổi sau bao nhiêu lần tùy ý và theo thứ tự bất kỳ:
(A) thay mỗi số $a$ ở hàng thứ nhất bằng số đứng ở vị trí thứ $a$ (tính từ trái sang phải) của hàng thứ hai;
(B) thay mỗi số $b$ ở hàng thứ hai bằng số đứng ở vị trí thứ $b$ (tính từ trái sang phải) của hàng thứ nhất.
Chẳng hạn, phép biến đổi $A$ biến bảng
$$ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} $$
thành bảng
$$ \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} $$
, bảng này đến lượt nó được phép biến đổi $B$ biến thành bảng
$$ \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{array} $$
Hỏi Dima có thể thu được bảng
$$ \begin{array}{ccccccc} 2 & 3 & 1 & 4 & \dots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & 1 \end{array} $$
từ bảng
$$ \begin{array}{ccccccc} 2 & 1 & 3 & 4 & \dots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & 1 \end{array} $$
hay không?
(A) thay mỗi số $a$ ở hàng thứ nhất bằng số đứng ở vị trí thứ $a$ (tính từ trái sang phải) của hàng thứ hai;
(B) thay mỗi số $b$ ở hàng thứ hai bằng số đứng ở vị trí thứ $b$ (tính từ trái sang phải) của hàng thứ nhất.
Chẳng hạn, phép biến đổi $A$ biến bảng
$$ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} $$
thành bảng
$$ \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} $$
, bảng này đến lượt nó được phép biến đổi $B$ biến thành bảng
$$ \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{array} $$
Hỏi Dima có thể thu được bảng
$$ \begin{array}{ccccccc} 2 & 3 & 1 & 4 & \dots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & 1 \end{array} $$
từ bảng
$$ \begin{array}{ccccccc} 2 & 1 & 3 & 4 & \dots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & 1 \end{array} $$
hay không?