Câu hỏi 103
Cho $S$ là một tập hợp gồm $11$ số nguyên dương phân biệt, mỗi số không vượt quá $60$. Chứng minh rằng tồn tại hai tập con khác rỗng $A$ và $B$ của $S$ sao cho $A \cap B = \emptyset$, $|A| = |B|$ và $\sum_{a \in A} a = \sum_{b \in B} b$.
Ví dụ, xét tập $\{1, 2, 3, \ldots, 11\}$. Hai tập con $\{1, 4\}$ và $\{2, 3\}$ thỏa mãn các điều kiện, còn hai tập con $\{1, 2\}$ và $\{3\}$ thì không, vì chúng có số phần tử khác nhau. Tương tự, hai tập con $\{1, 2, 3, 4\}$ và $\{5, 6, 7, 8\}$ không thỏa mãn điều kiện vì tổng của chúng khác nhau. (Batbayasgalan Balkhuu)
Ví dụ, xét tập $\{1, 2, 3, \ldots, 11\}$. Hai tập con $\{1, 4\}$ và $\{2, 3\}$ thỏa mãn các điều kiện, còn hai tập con $\{1, 2\}$ và $\{3\}$ thì không, vì chúng có số phần tử khác nhau. Tương tự, hai tập con $\{1, 2, 3, 4\}$ và $\{5, 6, 7, 8\}$ không thỏa mãn điều kiện vì tổng của chúng khác nhau. (Batbayasgalan Balkhuu)