Câu hỏi 33
Tìm tất cả các hàm $f : \mathbb{Q}[x] \to \mathbb{Q}[x]$ sao cho
i. Với mọi $P, Q \in \mathbb{Q}[x]$ ta có $f(P + Q) = f(P) + f(Q)$;
ii. Với mọi $P \in \mathbb{Q}[x]$, ta có $\gcd(P, f(P)) = 1$ khi và chỉ khi $P$ không có nhân tử bình phương.
(Ta nói đa thức $P \in \mathbb{Q}[x]$ không có nhân tử bình phương nếu không tồn tại đa thức khác hằng $Q \in \mathbb{Q}[x]$ sao cho $Q^2$ chia hết $P$.)
i. Với mọi $P, Q \in \mathbb{Q}[x]$ ta có $f(P + Q) = f(P) + f(Q)$;
ii. Với mọi $P \in \mathbb{Q}[x]$, ta có $\gcd(P, f(P)) = 1$ khi và chỉ khi $P$ không có nhân tử bình phương.
(Ta nói đa thức $P \in \mathbb{Q}[x]$ không có nhân tử bình phương nếu không tồn tại đa thức khác hằng $Q \in \mathbb{Q}[x]$ sao cho $Q^2$ chia hết $P$.)