Câu hỏi 115
Trên cạnh ($BC$) của tam giác $ABC$ lấy các điểm $D$ và $E$, với $D$ nằm giữa $B$ và $E$.
Một điểm $R$ thuộc đoạn thẳng ($AE$) được gọi là *đáng chú ý* nếu các đường thẳng $PQ$ và $BC$ song song, trong đó $\{P\} = DR \cap AC$ và $\{Q\} = CR \cap AB$.
Một điểm $R'$ thuộc đoạn thẳng ($AD$) được gọi là *đáng chú ý* nếu các đường thẳng $P'Q'$ và $BC$ song song, trong đó $\{P'\} = BR' \cap AC$ và $\{Q'\} = ER' \cap AB$.
a) Nếu trên đoạn ($AE$) có một điểm đáng chú ý, chứng minh rằng mọi điểm của đoạn ($AE$) đều đáng chú ý.
b) Nếu mỗi đoạn ($AD$) và ($AE$) đều chứa một điểm đáng chú ý, chứng minh rằng $BD = CE = \varphi \cdot DE$, trong đó $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ là tỉ số vàng.
Một điểm $R$ thuộc đoạn thẳng ($AE$) được gọi là *đáng chú ý* nếu các đường thẳng $PQ$ và $BC$ song song, trong đó $\{P\} = DR \cap AC$ và $\{Q\} = CR \cap AB$.
Một điểm $R'$ thuộc đoạn thẳng ($AD$) được gọi là *đáng chú ý* nếu các đường thẳng $P'Q'$ và $BC$ song song, trong đó $\{P'\} = BR' \cap AC$ và $\{Q'\} = ER' \cap AB$.
a) Nếu trên đoạn ($AE$) có một điểm đáng chú ý, chứng minh rằng mọi điểm của đoạn ($AE$) đều đáng chú ý.
b) Nếu mỗi đoạn ($AD$) và ($AE$) đều chứa một điểm đáng chú ý, chứng minh rằng $BD = CE = \varphi \cdot DE$, trong đó $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ là tỉ số vàng.