Câu hỏi 99
Cho $k \in \mathbb{N}^*$. Ta nói vành $(A, +, \cdot)$ có tính chất $CP(k)$ nếu với mọi $a, b \in A$ tồn tại $c \in A$ sao cho $a^k = b^k + c^k$.
a) Hãy cho một ví dụ về một vành hữu hạn $(A, +, \cdot)$ không có tính chất $CP(k)$ với mọi số nguyên dương $k \ge 2$.
b) Cho $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$, và $M(n) = \{m \in \mathbb{N}^* \mid (\mathbb{Z}_n, +, \cdot) \text{ có tính chất } CP(m)\}$. Chứng minh rằng $M(n)$ là một vị nhóm đối với phép nhân, chứa trong tập $2 \cdot \mathbb{N} + 1$ các số nguyên dương lẻ.
a) Hãy cho một ví dụ về một vành hữu hạn $(A, +, \cdot)$ không có tính chất $CP(k)$ với mọi số nguyên dương $k \ge 2$.
b) Cho $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$, và $M(n) = \{m \in \mathbb{N}^* \mid (\mathbb{Z}_n, +, \cdot) \text{ có tính chất } CP(m)\}$. Chứng minh rằng $M(n)$ là một vị nhóm đối với phép nhân, chứa trong tập $2 \cdot \mathbb{N} + 1$ các số nguyên dương lẻ.