Câu hỏi 96
Cho $f : [0, 1] \to (0, \infty)$ là một hàm số liên tục trên $[0, 1]$, và
$$A = \int_{0}^{1} f(t) \, dt.$$
a) Chứng minh rằng hàm số $F : [0, 1] \to [0, A]$, xác định với mọi $x \in [0, 1]$ bởi
$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt,
$$
là khả nghịch, với hàm ngược khả vi.
b) Chứng minh rằng phương trình
$$
\int_{0}^{x} f(t) \, dt = \int_{g(x)}^{1} f(t) \, dt \quad (1)
$$
trong đó $g$ là một hàm số $[0, 1] \to [0, 1]$, có nghiệm duy nhất $g(x)$ với mỗi $x \in [0, 1]$, và biểu diễn $g(x)$ theo $F$ và $F^{-1}$.
c) Chứng minh rằng $g$ khả vi, nghịch biến ngặt, và có một điểm bất động duy nhất $c \in [0, 1]$. Tính $g'(c)$.
$$A = \int_{0}^{1} f(t) \, dt.$$
a) Chứng minh rằng hàm số $F : [0, 1] \to [0, A]$, xác định với mọi $x \in [0, 1]$ bởi
$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt,
$$
là khả nghịch, với hàm ngược khả vi.
b) Chứng minh rằng phương trình
$$
\int_{0}^{x} f(t) \, dt = \int_{g(x)}^{1} f(t) \, dt \quad (1)
$$
trong đó $g$ là một hàm số $[0, 1] \to [0, 1]$, có nghiệm duy nhất $g(x)$ với mỗi $x \in [0, 1]$, và biểu diễn $g(x)$ theo $F$ và $F^{-1}$.
c) Chứng minh rằng $g$ khả vi, nghịch biến ngặt, và có một điểm bất động duy nhất $c \in [0, 1]$. Tính $g'(c)$.