Câu hỏi 160
Cho dãy số $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi
$$
a_n = \frac{1}{4^{[-\log_4 n]}}
$$
với mọi số nguyên dương $n$. Đặt
$$
b_n = \frac{1}{n^2} \left( a_1 + a_2 + \cdots + a_n - \frac{1}{a_1 + a_2} \right), \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+
$$
a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n = P\left(\frac{a_n}{n}\right)$ với mọi số nguyên dương $n$.
b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương tăng ngặt $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ sao cho
$$
\lim_{k \to \infty} b_{n_k} = \frac{2024}{2025}
$$
$$
a_n = \frac{1}{4^{[-\log_4 n]}}
$$
với mọi số nguyên dương $n$. Đặt
$$
b_n = \frac{1}{n^2} \left( a_1 + a_2 + \cdots + a_n - \frac{1}{a_1 + a_2} \right), \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+
$$
a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n = P\left(\frac{a_n}{n}\right)$ với mọi số nguyên dương $n$.
b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương tăng ngặt $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ sao cho
$$
\lim_{k \to \infty} b_{n_k} = \frac{2024}{2025}
$$