Câu hỏi 34
Một hang ngầm gồm một dãy vô hạn các phòng được đánh số bởi các số nguyên $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$. Ban đầu, một số phòng có một hoặc nhiều con thỏ.
Mỗi con thỏ đều muốn ở một mình. Vì vậy, nếu có từ hai con thỏ trở lên trong cùng một phòng (chẳng hạn phòng $m$), một nửa số thỏ (làm tròn xuống) sẽ chạy sang phòng $m-1$, và một nửa (cũng làm tròn xuống) chạy sang phòng $m+1$. Mỗi phút một lần, điều này xảy ra đồng thời ở tất cả các phòng có từ hai con thỏ trở lên. Ví dụ, nếu ban đầu tất cả các phòng đều trống trừ 5 con thỏ ở phòng số 12 và 2 con thỏ ở phòng số 13, thì sau một phút, các phòng số 11 đến số 14 sẽ lần lượt chứa 2, 2, 2 và 1 con thỏ, và tất cả các phòng khác đều trống.
Bây giờ giả sử ban đầu có $k+1$ con thỏ ở phòng $k$ với mỗi $k=0,1,2, \ldots, 9,10$, và tất cả các phòng khác đều trống.
a. Chứng minh rằng cuối cùng các con thỏ sẽ ngừng di chuyển.
b. Xác định những phòng nào có thỏ khi điều đó xảy ra.
Mỗi con thỏ đều muốn ở một mình. Vì vậy, nếu có từ hai con thỏ trở lên trong cùng một phòng (chẳng hạn phòng $m$), một nửa số thỏ (làm tròn xuống) sẽ chạy sang phòng $m-1$, và một nửa (cũng làm tròn xuống) chạy sang phòng $m+1$. Mỗi phút một lần, điều này xảy ra đồng thời ở tất cả các phòng có từ hai con thỏ trở lên. Ví dụ, nếu ban đầu tất cả các phòng đều trống trừ 5 con thỏ ở phòng số 12 và 2 con thỏ ở phòng số 13, thì sau một phút, các phòng số 11 đến số 14 sẽ lần lượt chứa 2, 2, 2 và 1 con thỏ, và tất cả các phòng khác đều trống.
Bây giờ giả sử ban đầu có $k+1$ con thỏ ở phòng $k$ với mỗi $k=0,1,2, \ldots, 9,10$, và tất cả các phòng khác đều trống.
a. Chứng minh rằng cuối cùng các con thỏ sẽ ngừng di chuyển.
b. Xác định những phòng nào có thỏ khi điều đó xảy ra.