Câu hỏi 161
Cho $A_1A_2\cdots A_{2025}$ là một đa giác lồi 2025 đỉnh, và đặt $A_i = A_{i+2025}$ với mọi số nguyên $i$. Hai điểm phân biệt $P$ và $Q$ nằm trong đa giác sao cho $\angle A_{i-1}A_iP = \angle QA_iA_{i+1}$ với mọi $i$. Định nghĩa các điểm $P_i^j$ và $Q_i^j$ với $i$ nguyên và $j$ nguyên dương như sau:
* Với mọi $i$, $P_i^1 = Q_i^1 = A_i$.
* Với mọi $i$ và $j$, $P_i^{j+1}$ và $Q_i^{j+1}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PP_i^jP_{i+1}^j$ và $QQ_i^jQ_{i+1}^j$.
Gọi $\mathcal{P}$ và $\mathcal{Q}$ lần lượt là các đa giác $P_1^{2025}P_2^{2025}\cdots P_{2025}^{2025}$ và $Q_1^{2025}Q_2^{2025}\cdots Q_{2025}^{2025}$.
(a) Chứng minh rằng $\mathcal{P}$ và $\mathcal{Q}$ là các đa giác nội tiếp.
(b) Gọi $O_P$ và $O_Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\mathcal{P}$ và $\mathcal{Q}$. Giả sử $O_P \neq O_Q$, chứng minh rằng $O_P O_Q$ song song với $PQ$.
* Với mọi $i$, $P_i^1 = Q_i^1 = A_i$.
* Với mọi $i$ và $j$, $P_i^{j+1}$ và $Q_i^{j+1}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PP_i^jP_{i+1}^j$ và $QQ_i^jQ_{i+1}^j$.
Gọi $\mathcal{P}$ và $\mathcal{Q}$ lần lượt là các đa giác $P_1^{2025}P_2^{2025}\cdots P_{2025}^{2025}$ và $Q_1^{2025}Q_2^{2025}\cdots Q_{2025}^{2025}$.
(a) Chứng minh rằng $\mathcal{P}$ và $\mathcal{Q}$ là các đa giác nội tiếp.
(b) Gọi $O_P$ và $O_Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\mathcal{P}$ và $\mathcal{Q}$. Giả sử $O_P \neq O_Q$, chứng minh rằng $O_P O_Q$ song song với $PQ$.