Câu hỏi 147
Cho $f$ là một hàm số từ tập các số nguyên không âm vào tập các số nguyên không âm sao cho $f(0) = 0$ và
$$
f(m) = f\left(\left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor\right) + \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil^2
$$
với mọi số nguyên dương $m$. Tính
$$
\frac{f(1)}{1 \cdot 2} + \frac{f(2)}{2 \cdot 3} + \frac{f(3)}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{f(31)}{31 \cdot 32}.
$$
(Ở đây, $\lfloor z\rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $z$, và $\lceil z\rceil$ là số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $z$.)
$$
f(m) = f\left(\left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor\right) + \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil^2
$$
với mọi số nguyên dương $m$. Tính
$$
\frac{f(1)}{1 \cdot 2} + \frac{f(2)}{2 \cdot 3} + \frac{f(3)}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{f(31)}{31 \cdot 32}.
$$
(Ở đây, $\lfloor z\rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $z$, và $\lceil z\rceil$ là số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $z$.)