Câu hỏi 24
a) Cho $a \in \mathbb{R}$ và $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là một hàm liên tục, có nguyên hàm $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, sao cho $F(x) + a \cdot f(x) \ge 0$ với $x \in \mathbb{R}$, và $\lim_{|x|\to\infty} \frac{F(x)}{e^{|\alpha \cdot x|}} = 0$ với mọi $\alpha \in \mathbb{R}^*$. Chứng minh rằng $F(x) \ge 0$ với $x \in \mathbb{R}$.
b) Cho $n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}$, $g = X^n + a_1 X^{n-1} + \dots + a_{n-1} X + a_n \in \mathbb{R}[X]$ là một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực và $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là một hàm đa thức sao cho $f(x) + a_1 \cdot f'(x) + a_2 \cdot f^{(2)}(x) + \dots + a_n \cdot f^{(n)}(x) \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng $f(x) \ge 0$ với $x \in \mathbb{R}$.
b) Cho $n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}$, $g = X^n + a_1 X^{n-1} + \dots + a_{n-1} X + a_n \in \mathbb{R}[X]$ là một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực và $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là một hàm đa thức sao cho $f(x) + a_1 \cdot f'(x) + a_2 \cdot f^{(2)}(x) + \dots + a_n \cdot f^{(n)}(x) \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng $f(x) \ge 0$ với $x \in \mathbb{R}$.