Câu hỏi 22
Chứng minh rằng, với một hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, các khẳng định sau là tương đương:
(i) $f$ khả vi trên $\mathbb{R}$ với đạo hàm liên tục;
(ii) với mọi $a \in \mathbb{R}$ và hai dãy $(x_n)_{n \ge 1}$, $(y_n)_{n \ge 1}$ có giới hạn $a$, sao cho $x_n \neq y_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, dãy $\left( \frac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n} \right)_{n \ge 1}$ hội tụ.
(i) $f$ khả vi trên $\mathbb{R}$ với đạo hàm liên tục;
(ii) với mọi $a \in \mathbb{R}$ và hai dãy $(x_n)_{n \ge 1}$, $(y_n)_{n \ge 1}$ có giới hạn $a$, sao cho $x_n \neq y_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, dãy $\left( \frac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n} \right)_{n \ge 1}$ hội tụ.