Câu hỏi 43
Cho $(G,\cdot)$ là một nhóm với phần tử đơn vị $e$, và $A$ là một tập con khác rỗng của $G$. Ký hiệu
$$AA=\{xy\mid x,y\in A\}.$$
a) Chứng minh rằng nếu $G$ hữu hạn thì $AA=A$ khi và chỉ khi $e\in A$ và $|AA|=|A|$.
b) Hãy cho một ví dụ về nhóm $G$ và tập con $A\subseteq G$ sao cho $AA\ne A$, $|AA|=|A|$ và $AA\lt G$.
(Ký hiệu $H\lt G$ nghĩa là $H$ là một nhóm con thực sự của $G$, tức là một nhóm con của $G$ nhưng khác $G$.)
$$AA=\{xy\mid x,y\in A\}.$$
a) Chứng minh rằng nếu $G$ hữu hạn thì $AA=A$ khi và chỉ khi $e\in A$ và $|AA|=|A|$.
b) Hãy cho một ví dụ về nhóm $G$ và tập con $A\subseteq G$ sao cho $AA\ne A$, $|AA|=|A|$ và $AA\lt G$.
(Ký hiệu $H\lt G$ nghĩa là $H$ là một nhóm con thực sự của $G$, tức là một nhóm con của $G$ nhưng khác $G$.)