Câu hỏi 169
Cho $d$ là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức duy nhất $S(n)$ sao cho mọi số nguyên $n \geq 0$, $S(n) = \sum_{k=0}^{n} k^{d} = 0^{d} + 1^{d} + \cdots + n^{d}$. Cũng chứng minh rằng $S(n)$ có thể được biểu thị dưới dạng $$
c_{0} + c_{1}(2n+1) + c_{2}(2n+2)^{2} + \cdots + c_{d+1}(2n+1)^{d+1}
$$ trong đó $c_{i}$ là các số hữu tỉ như $c_{i} c_{i+1} = 0$ cho $i = 0, 1, \ldots, d$.
c_{0} + c_{1}(2n+1) + c_{2}(2n+2)^{2} + \cdots + c_{d+1}(2n+1)^{d+1}
$$ trong đó $c_{i}$ là các số hữu tỉ như $c_{i} c_{i+1} = 0$ cho $i = 0, 1, \ldots, d$.