Câu hỏi 96
Cho $k$ là một số nguyên dương và để $(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2k})$ và $(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{2k})$ là hai dãy số thực như $\frac{1}{2} \leq a_{1} \leq \cdots \leq a_{2k}$ và $\frac{1}{2} \leq b_{1} \leq \cdots \leq b_{2k}$. Cho $M$ và $m$ lần lượt là mức tối đa và tối thiểu của $$
(a_{1}+c_{1})(a_{2}+c_{2}) \cdots (a_{2k}+c_{2k})
$$ là $(c_{1}, \ldots, c_{2k})$ có phạm vi thông qua tất cả các hoán vị có thể có của $(b_{1}, \ldots, b_{2k})$. Chứng minh rằng $$
M-m \geq k(a_{k}-a_{k+1})(b_{k}-b_{k+1}) .
$$
(a_{1}+c_{1})(a_{2}+c_{2}) \cdots (a_{2k}+c_{2k})
$$ là $(c_{1}, \ldots, c_{2k})$ có phạm vi thông qua tất cả các hoán vị có thể có của $(b_{1}, \ldots, b_{2k})$. Chứng minh rằng $$
M-m \geq k(a_{k}-a_{k+1})(b_{k}-b_{k+1}) .
$$