Câu hỏi 155
Alice và Brian chơi một trò chơi. Trước khi họ bắt đầu, Alice chọn một số nguyên dương $n$ và Brian sau đó chọn giá trị ban đầu của một số nguyên dương khác $m$. sau đó họ đặt $n$ quầy trên bảng và thay phiên nhau tháo chúng; Alice luôn di chuyển trước. Mỗi bước di chuyển, cho một số người chơi $P$, luôn có hai phần:
(a) $P$ hoặc cho phép $m$ không thay đổi hoặc giảm giá trị của nó bằng cách $1$, với ngoại lệ nếu $m = 1$, sau đó $m$ không thể thay đổi.
(b) $P$ sau đó loại bỏ $m$ quầy từ bảng. Cuối cùng, còn quá ít quầy cho $P$ phải làm (b) và $P$ mất. Người chiến thắng phụ thuộc vào $n$, ban đầu $m$, và các động thái được thực hiện. Ví dụ, giả sử $n = 11$ và ban đầu $m = 5$. Alice trước tiên nên loại bỏ $4$ quầy. Brian sau đó loại bỏ một trong hai $4$ hoặc là $3$ bộ đếm, sau đó Alice nên loại bỏ $3$ quầy. Với nhiều nhất một quầy bây giờ trên bàn, Brian không có động thái hợp lệ để Alice giành chiến thắng. Nếu thay vào đó, Alice ban đầu đã loại bỏ $5$ quầy, người ta dễ dàng xác minh rằng Alice sẽ bị thua. Alice và Brian đồng ý hạn chế $n$ và ban đầu $m$: Alice phải chọn $n \ge 2024$, và Brian chỉ được phép chọn $m = 2, m = 3$, hoặc $m = 4$. Tìm nhỏ nhất $n$ rằng Alice có thể chọn để đảm bảo cho cô ấy một chiến thắng nếu cô ấy thực hiện các động thái phù hợp, bất kể sự lựa chọn của Brian $m$ và những bước đi của anh ấy.
(a) $P$ hoặc cho phép $m$ không thay đổi hoặc giảm giá trị của nó bằng cách $1$, với ngoại lệ nếu $m = 1$, sau đó $m$ không thể thay đổi.
(b) $P$ sau đó loại bỏ $m$ quầy từ bảng. Cuối cùng, còn quá ít quầy cho $P$ phải làm (b) và $P$ mất. Người chiến thắng phụ thuộc vào $n$, ban đầu $m$, và các động thái được thực hiện. Ví dụ, giả sử $n = 11$ và ban đầu $m = 5$. Alice trước tiên nên loại bỏ $4$ quầy. Brian sau đó loại bỏ một trong hai $4$ hoặc là $3$ bộ đếm, sau đó Alice nên loại bỏ $3$ quầy. Với nhiều nhất một quầy bây giờ trên bàn, Brian không có động thái hợp lệ để Alice giành chiến thắng. Nếu thay vào đó, Alice ban đầu đã loại bỏ $5$ quầy, người ta dễ dàng xác minh rằng Alice sẽ bị thua. Alice và Brian đồng ý hạn chế $n$ và ban đầu $m$: Alice phải chọn $n \ge 2024$, và Brian chỉ được phép chọn $m = 2, m = 3$, hoặc $m = 4$. Tìm nhỏ nhất $n$ rằng Alice có thể chọn để đảm bảo cho cô ấy một chiến thắng nếu cô ấy thực hiện các động thái phù hợp, bất kể sự lựa chọn của Brian $m$ và những bước đi của anh ấy.