Câu hỏi 178
Cho $r$ và $n$ là số nguyên không âm sao cho $r \le n$.
a. Chứng minh $$
\frac{n+1-2r}{n+1-r} \binom{n}{r}
$$ là số nguyên.
b. Chứng minh rằng $$
\sum_{r=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{n+1-2r}{n+1-r} \binom{n}{r} \lt 2^{n-2}
$$ cho tất cả $n \ge 9$. (Lưu ý rằng $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$. Ngoài ra, nếu $x$ là số thực thì $\lfloor x \rfloor$ là số nguyên duy nhất sao cho $\lfloor x \rfloor \le x \lt \lfloor x \rfloor + 1$.)
a. Chứng minh $$
\frac{n+1-2r}{n+1-r} \binom{n}{r}
$$ là số nguyên.
b. Chứng minh rằng $$
\sum_{r=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{n+1-2r}{n+1-r} \binom{n}{r} \lt 2^{n-2}
$$ cho tất cả $n \ge 9$. (Lưu ý rằng $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$. Ngoài ra, nếu $x$ là số thực thì $\lfloor x \rfloor$ là số nguyên duy nhất sao cho $\lfloor x \rfloor \le x \lt \lfloor x \rfloor + 1$.)