Câu hỏi 107
Xem xét một hàng hộp được đánh số $0,1, \ldots, k$ Từ trái sang phải, cho mỗi $i \geqslant 1$, số hộp $i$ giữ $x_{i}$ quân. ban đầu không có quân nào trên số hộp $0$. Lần lượt, Alice và Bob sau đó chơi theo các quy tắc sau: - Bob chọn một bộ $S$ của quân, không nhất thiết phải tất cả trên cùng một hộp. - Alice sau đó có thể loại bỏ tất cả các quân không có trong $S$ Nhưng sau đó di chuyển từng quân từ $S$ trong số hộp anh ta chiếm giữ ở hộp lân cận bên trái của mình (một quân như vậy đi từ một số hộp $i$ trong số hộp $i-1$) hoặc loại bỏ tất cả các quân có trong $S$ Nhưng sau đó di chuyển từng quân không có trong $S$ của chiếc hộp mà anh ta chiếm giữ tại quảng trường lân cận bên trái. Bob thắng trò chơi nếu anh ta mang theo quân đến số hộp $0$, và Alice thắng nếu cô ấy quản lý để loại bỏ tất cả các quân. 1) Chứng minh rằng Alice có chiến lược chiến thắng nếu $\sum_{i=1}^{k} 2^{-i} x_{i}\lt 1$. 2) Có đúng không nếu $\sum_{i=1}^{k} 2^{-i} x_{i} \geqslant 1$ Vậy Bob có một chiến lược chiến thắng?