Câu hỏi 85
Trong trò chơi của thiên hà, người chơi cạnh tranh để tích lũy các thẻ, mỗi thẻ có giá trị một số điểm nhất định. Giả sử bạn đang chơi một phiên bản của trò chơi này chỉ với hai loại thẻ, thẻ hành tinh và thẻ hegemon. Mỗi thẻ hành tinh có giá trị $2010$ điểm, và mỗi thẻ Hegemon có giá trị bốn điểm cho mỗi thẻ hành tinh được giữ. Bạn bắt đầu với không có thẻ hành tinh và không có thẻ bá chủ, và ở mỗi lượt, bắt đầu từ lượt, bạn lấy thẻ hành tinh hoặc thẻ bá chủ, tùy theo điểm nào đáng giá hơn với ván bài mà bạn hiện đang nắm giữ. Xác định một chuỗi $\{a_{n}\}$ cho tất cả các số nguyên dương $n$ bằng cách đặt $a_{n}$ là $0$ nếu lần lượt $n$ bạn có một hành tinh thẻ và $1$ nếu bạn lấy thẻ hegemon. Giá trị nhỏ nhất của $N$ sao cho chuỗi $a_{N}, a_{N+1}, \ldots$ nhất thiết phải là định kỳ (có nghĩa là có một số nguyên dương $k$ sao cho $a_{n+k}=a_{n}$ cho tất cả $n \geq N$)?