Câu hỏi 109
Cho $n \gt 2$ và $A_1, A_2, ..., A_n$ là $n$ điểm trên mặt phẳng mà không có ba điểm nào trong số chúng là thẳng hàng.
a. Cho $M_1, M_2, ..., M_n$ được điểm $n$ tương ứng trên các đoạn thẳng $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$. Chứng minh rằng nếu $B_1, B_2, ..., B_n$ lần lượt là điểm $n$ trong tam giác $M_nA_1M_1, M_1A_2M_2, ..., M_{n-1}A_nM_n$, thì phần sau giữ $$
| B_1B_2 | + | B_2B_3 | + \dots + | B_nB_1 | \le | A_1A_2 | + | A_2A_3 | + \dots + | A_nA_1 |
$$ trong đó $|XY|$ có nghĩa là độ dài của Đoạn thẳng $XY$.
b. Chúng tôi định nghĩa $H_{XYZ}$ là nửa mặt phẳng với đường phân giác ngoài của góc $\overline{XYZ}$ là ranh giới của nó không chứa đường phân giác bên trong của $\overline{XYZ}$. Chứng minh rằng nếu $C_1, C_2, ..., C_n$ lần lượt là điểm $n$ trong nửa mặt phẳng $H_{A_nA_1A_2}, H_{A_1A_2A_3}, ..., H_{A_{n-1}A_nA_1}$, thì $$
| A_1A_2 | + | A_2A_3 | + | A_nA_1 | \le | C_1C_2 | + | C_2C_3 | + \dots + | C_nC_1 |
$$
a. Cho $M_1, M_2, ..., M_n$ được điểm $n$ tương ứng trên các đoạn thẳng $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$. Chứng minh rằng nếu $B_1, B_2, ..., B_n$ lần lượt là điểm $n$ trong tam giác $M_nA_1M_1, M_1A_2M_2, ..., M_{n-1}A_nM_n$, thì phần sau giữ $$
| B_1B_2 | + | B_2B_3 | + \dots + | B_nB_1 | \le | A_1A_2 | + | A_2A_3 | + \dots + | A_nA_1 |
$$ trong đó $|XY|$ có nghĩa là độ dài của Đoạn thẳng $XY$.
b. Chúng tôi định nghĩa $H_{XYZ}$ là nửa mặt phẳng với đường phân giác ngoài của góc $\overline{XYZ}$ là ranh giới của nó không chứa đường phân giác bên trong của $\overline{XYZ}$. Chứng minh rằng nếu $C_1, C_2, ..., C_n$ lần lượt là điểm $n$ trong nửa mặt phẳng $H_{A_nA_1A_2}, H_{A_1A_2A_3}, ..., H_{A_{n-1}A_nA_1}$, thì $$
| A_1A_2 | + | A_2A_3 | + | A_nA_1 | \le | C_1C_2 | + | C_2C_3 | + \dots + | C_nC_1 |
$$