MathNet 2010 — Phần 03 Câu hỏi 107

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ là một hàm tăng và $n$ là một số tự nhiên. Giả sử rằng tồn tại số nguyên tố $p_1, p_2, \ldots, p_n$ và số tự nhiên $s_1, s_2, \ldots, s_n$ sao cho mọi $1 \le i \le n$, tập hợp $\{f(p_i r + s_i) \mid r = 1, 2, \ldots \}$ là một cấp số cộng vô hạn. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho $$
f(a + 1), f(a + 2), \ldots, f(a + n)
$$ là một cấp số cộng.