Câu hỏi 4
Cho hai vòng tròn tâm $O,O'$ bán kính $R,R'$ tương ứng cắt nhau ở hai điểm $P,Q$ và một đường thẳng $\Delta$ biến thiên luôn bị hai vòng tròn nói trên cắt thành một hàng điểm điều hòa.
(a) Từ hai tâm $O$ và $O'$ người ta hạ các đường vuông góc $OH$ và $O'H'$ xuống đường thẳng $\Delta$. Hãy dùng suy luận logic mà đoán nhận quỹ tích của các điểm $H$ và $H'$ (càng đoán nhận được chính xác càng tốt).
(b) Chứng minh những điều đoán nhận về quỹ tích của hai điểm $H$ và $H'$ và xác định giới hạn của các quỹ tích đó. Trong trường hợp nào thì quỹ tích đi qua hai điểm $O$ và $O'$.
(c) Với giả thiết rằng $OO'\lt \sqrt{R^2+R'^2}$ hãy xác định trên đường thẳng $\Delta$ một điểm $M$ sao cho tổng của các đoạn thẳng $MO$ và $MO'$ là ngắn nhất với mọi con đường khác nối $O$ và $O'$ và có điểm qua một điểm trên $\Delta$. Chứng minh rằng đường đi ngắn nhất đó là không đổi khi $\Delta$ biến thiên. Phải đổi câu hỏi như thế nào để $OO'\gt \sqrt{R^2+R'^2}$.
Quy ước: hai giao điểm thuộc mỗi đường tròn tạo thành một cặp trong hai cặp điều hòa; cả bốn giao điểm phải thực và phân biệt. Không xét tiếp xúc. Nguồn không nói rõ “quỹ tích” là cả đường tròn mang quỹ tích hay các cung được phép; lời giải phân biệt hai khái niệm.
(a) Từ hai tâm $O$ và $O'$ người ta hạ các đường vuông góc $OH$ và $O'H'$ xuống đường thẳng $\Delta$. Hãy dùng suy luận logic mà đoán nhận quỹ tích của các điểm $H$ và $H'$ (càng đoán nhận được chính xác càng tốt).
(b) Chứng minh những điều đoán nhận về quỹ tích của hai điểm $H$ và $H'$ và xác định giới hạn của các quỹ tích đó. Trong trường hợp nào thì quỹ tích đi qua hai điểm $O$ và $O'$.
(c) Với giả thiết rằng $OO'\lt \sqrt{R^2+R'^2}$ hãy xác định trên đường thẳng $\Delta$ một điểm $M$ sao cho tổng của các đoạn thẳng $MO$ và $MO'$ là ngắn nhất với mọi con đường khác nối $O$ và $O'$ và có điểm qua một điểm trên $\Delta$. Chứng minh rằng đường đi ngắn nhất đó là không đổi khi $\Delta$ biến thiên. Phải đổi câu hỏi như thế nào để $OO'\gt \sqrt{R^2+R'^2}$.
Quy ước: hai giao điểm thuộc mỗi đường tròn tạo thành một cặp trong hai cặp điều hòa; cả bốn giao điểm phải thực và phân biệt. Không xét tiếp xúc. Nguồn không nói rõ “quỹ tích” là cả đường tròn mang quỹ tích hay các cung được phép; lời giải phân biệt hai khái niệm.