AMC 10B năm 2025

Hướng dẫn trên túi hạt cà phê $350$-gram nói rằng việc pha một cốc cà phê rót lớn đúng cách cần có $20$ gam hạt cà phê. Có thể pha được bao nhiêu cốc cà phê lớn được pha đúng cách từ những hạt cà phê trong túi đó?

Jerry đã viết ra chữ số hàng đơn vị của mỗi $2025$ bình phương dương đầu tiên: $1,$ $4,$ $9,$ $6,$ $5,$ $6,$ $\ldots$ Tổng của tất cả những con số Jerry đã viết ra?

Một tam giác giống Pascal có $10$ ở hàng trên cùng và $10$ theo sau là $1$ ở hàng thứ hai. Trong mỗi hàng tiếp theo, số đầu tiên là $10,$ số cuối cùng là $1,$ và, như trong Tam giác Pascal tiêu chuẩn, mỗi số khác trong hàng là tổng của hai số ngay phía trên nó. Bốn hàng đầu tiên được hiển thị dưới đây.



Tổng các chữ số của tổng các số ở hàng thứ $11$ là bao nhiêu?

Giá trị của số có hai chữ số $\underline{a}\,\underline{b}$ trong cơ số bảy bằng giá trị của số có hai chữ số $\underline{b}\,\underline{a}$ trong cơ số chín. $a + b?$ là gì

Trong $\triangle ABC,$ $AB = 10,$ $AC = 18,$ và $\angle B = 130^\circ.$ Đặt $O$ là tâm của đường tròn chứa các điểm $A,$ $B,$ và $C.$ Số đo độ của $\angle CAO?$ là bao nhiêu

Dòng $y = \tfrac{1}{3}x + 1$ chia vùng hình vuông được xác định bởi $0 \le x \le 2$ và $0 \le y \le 2$ thành vùng trên và vùng dưới. Dòng $x = a$ chia vùng dưới thành hai vùng bằng nhau diện tích. Khi đó $a$ có thể được viết là $\sqrt{s} - t,$ trong đó $s$ và $t$ là các số nguyên dương. $s + t?$ là gì

Frances đứng $15$ mét ngay phía nam của cánh cổng bị khóa trong hàng rào chạy theo hướng đông tây. Ngay sau hàng rào là một hộp sôcôla, nằm $x$ mét về phía đông của cánh cổng bị khóa. Một cổng không khóa nằm $9$ mét về phía đông của hộp và một cổng không khóa khác nằm $8$ mét về phía tây của cổng bị khóa. Frances có thể đến được chiếc hộp bằng cách đi về phía một cánh cổng không khóa, đi qua nó và đi về phía chiếc hộp. Điều xảy ra là tổng quãng đường Frances sẽ di chuyển sẽ như nhau khi qua một trong hai cánh cổng không khóa. Giá trị của $x?$ là bao nhiêu

Emmy nói với Max: “Hôm nay tôi đã đặt mua $36$ áo nỉ cho câu lạc bộ toán học.” Max hỏi: “Mỗi chiếc áo sơ mi giá bao nhiêu?” Emmy trả lời: "Tôi sẽ cho bạn một gợi ý. Tổng chi phí là $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},$ trong đó $A$ và $B$ là các chữ số và $A \ne 0.$" Sau khi tạm dừng, Max nói: "Đó là một mức giá tốt." $A + B?$ là gì

Có bao nhiêu bộ ba số nguyên $(x, y, z)$ thỏa mãn hệ bất đẳng thức sau?

$$
-x - y - z \le -2
$$ $$
-x + y + z \le 2
$$ $$
x - y + z \le 2
$$ $$
x + y - z \le 2
$$

Đặt $f(n) = n^3 - 5n^2 + 2n + 8,$ và đặt $g(n) = n^3 - 6n^2 + 5n + 12.$ Tổng của tất cả các giá trị số nguyên của $n$ mà $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ cũng là số nguyên là bao nhiêu?

Vào thứ Hai, $6$ học sinh đến trung tâm dạy kèm cùng lúc và mỗi người được phân ngẫu nhiên vào một trong các gia sư $6$ đang trực. Vào thứ Ba, cùng $6$ học sinh đó đã xuất hiện, cùng $6$ gia sư đang trực, và các học sinh đó lại được phân ngẫu nhiên vào các gia sư. xác suất chính xác là $2$ học sinh đã gặp cùng một gia sư vào cả Thứ Hai và Thứ Ba là gì?

Hình bên dưới hiển thị một tam giác đều, một hình thoi có góc $60^\circ$ và một hình lục giác đều, mỗi hình chứa một số đĩa bằng nhau tiếp xúc lẫn nhau. Đặt $T,$ $R,$ và $H,$ tương ứng, biểu thị tỷ lệ trong từng trường hợp của tổng diện tích của các đĩa so với diện tích của đa giác kèm theo.



Điều nào sau đây là đúng?

Độ cao đến cạnh huyền của $30$-$60$-$90^\circ$ tam giác vuông được chia thành hai đoạn có độ dài $x \lt y$ bởi trung vị đến cạnh ngắn nhất của tam giác. Tỷ lệ $\dfrac{x}{x + y}?$ là bao nhiêu

Chín vận động viên, không có hai người nào có cùng chiều cao, thử sức cho đội bóng rổ. Lần lượt, họ rút ngẫu nhiên một dây đeo cổ tay, không thay thế, từ một túi chứa $3$ dây đeo màu xanh lam, $3$ dây đeo màu đỏ và $3$ dây đeo màu xanh lá cây. Chúng được chia thành nhóm màu xanh lam, nhóm màu đỏ và nhóm màu xanh lá cây. Thành viên cao nhất của mỗi nhóm được mệnh danh là đội trưởng. xác suất mà đội trưởng nhóm là ba vận động viên cao nhất là gì?

tổng

$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3 + 6k^2 + 8k}
$$

có thể được biểu thị dưới dạng $\dfrac{a}{b},$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. $a + b?$ là gì

Một vòng tròn đã được chia thành $6$ các phần có kích thước khác nhau. Sau đó, $2$ của các khu vực được sơn màu đỏ, $2$ được sơn màu xanh lá cây và $2$ được sơn màu xanh lam để không có hai khu vực lân cận nào được sơn cùng một màu. Một màu như vậy được hiển thị dưới đây.



Có thể có bao nhiêu cách tô màu khác nhau?

Hãy xem xét một chuỗi giảm dần gồm $n$ số nguyên dương $x_1 \gt x_2 \gt x_3 \gt \cdots \gt x_n$ thỏa mãn các điều kiện sau. Trung bình của các số hạng $3$ đầu tiên trong dãy là $2025.$ Đối với tất cả $4 \le k \le n,$, trung bình của các số hạng $k$ đầu tiên trong dãy là $1$ nhỏ hơn mức trung bình của các số hạng $k - 1$ đầu tiên trong dãy.

Giá trị lớn nhất có thể có của $n?$ là bao nhiêu?

chữ số hàng đơn vị của tổng $\lfloor\sqrt{1}\rfloor + \lfloor\sqrt{2}\rfloor + \lfloor\sqrt{3}\rfloor$ $+ \cdots + \lfloor\sqrt{2024}\rfloor$ $+ \lfloor\sqrt{2025}\rfloor?$ là gì (Hãy nhớ rằng $\lfloor x \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$)

Một thùng chứa có đáy vuông $1 \times 1$, đỉnh vuông mở $3 \times 3$ và bốn cạnh hình thang bằng nhau, như được hiển thị. Bắt đầu khi thùng chứa rỗng, một vòi chảy nước với tốc độ không đổi sẽ mất $35$ phút để đổ đầy thùng chứa đến đường giữa của hình thang.



Sẽ mất bao nhiêu phút nữa để đổ đầy số dư của thùng chứa?

Bốn hình bán nguyệt bằng nhau nội tiếp trong một hình vuông có chiều dài cạnh $1$ sao cho đường kính của chúng nằm trên các cạnh của hình vuông, một điểm cuối của mỗi đường kính nằm tại một đỉnh của hình vuông và các hình bán nguyệt liền kề tiếp xúc với nhau. Một vòng tròn nhỏ có tâm ở giữa hình vuông tiếp xúc với mỗi hình bán nguyệt trong số bốn hình bán nguyệt, như minh họa bên dưới.



Đường kính của vòng tròn nhỏ có thể được viết là $(\sqrt{a} + b)(\sqrt{c} + d),$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là số nguyên. $a + b + c + d?$ là gì