AMC 10A năm 2025

Andy và Betsy đều sống ở Mathville. Andy rời Mathville trên chiếc xe đạp của mình với vận tốc $1{:}30,$ hướng về phía bắc với vận tốc ổn định $8$ dặm một giờ. Betsy khởi hành trên chiếc xe đạp của mình từ cùng một điểm với vận tốc $2{:}30,$ di chuyển về phía đông với tốc độ ổn định $12$ dặm một giờ. Vào thời điểm nào họ sẽ cách điểm xuất phát chung một khoảng cách bằng nhau?

Một hộp chứa $10$ pound hỗn hợp hạt có $50$ phần trăm đậu phộng, $20$ phần trăm hạt điều và $30$ phần trăm hạnh nhân. Hỗn hợp hạt thứ hai chứa $20$ phần trăm đậu phộng, $40$ phần trăm hạt điều và $40$ phần trăm hạnh nhân được thêm vào hộp tạo ra một hỗn hợp hạt mới có $40$ phần trăm đậu phộng. Hỏi bây giờ trong hộp có bao nhiêu pound hạt điều?

Có bao nhiêu tam giác cân có diện tích dương có độ dài các cạnh đều là số nguyên dương và cạnh dài nhất có độ dài $2025?$

Một nhóm học sinh sẽ thi đấu với một nhóm giáo viên trong một cuộc thi đố vui. Tổng số học sinh và giáo viên là $15.$ Ash, anh họ của một trong những học sinh, muốn tham gia cuộc thi. Nếu Ash chơi với học sinh, độ tuổi trung bình của đội đó sẽ tăng từ $12$ lên $14.$ Nếu Ash chơi với giáo viên, độ tuổi trung bình của đội đó sẽ giảm từ $55$ xuống $52.$ Ash bao nhiêu tuổi?

Xét dãy số nguyên dương

$$
\begin{gathered} 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, \\ 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, \ldots \end{gathered}
$$

Thuật ngữ thứ $2025$ trong chuỗi này là gì?

Trong tam giác đều mỗi góc trong được chia làm ba bởi một cặp tia. Giao điểm bên trong của góc giữa $20^\circ$ tại mỗi đỉnh là phần bên trong của một hình lục giác lồi. Số đo của góc nhỏ nhất của hình lục giác này là bao nhiêu?

Giả sử $a$ và $b$ là số thực. Khi đa thức $x^3 + x^2 + ax + b$ được chia cho $x - 1,$ thì số dư là $4.$ Khi đa thức được chia cho $x - 2,$ thì số dư là $6.$ $b - a?$ là gì

Agnes viết bốn câu sau đây vào một tờ giấy trắng.

• ít nhất một trong những tuyên bố này là đúng.

• ít nhất hai trong số những tuyên bố này là đúng.

• ít nhất hai trong số các tuyên bố này là sai.

• ít nhất một trong những tuyên bố này là sai.

Mỗi phát biểu đều đúng hoặc sai. Agnes đã viết bao nhiêu câu sai trên tờ giấy?

Giả sử $f(x) = 100x^3 - 300x^2 + 200x.$ có bao nhiêu số thực $a$ đồ thị của $y = f(x - a)$ đi qua điểm $(1, 25)?$

Hình bán nguyệt có đường kính $AB$ và dây cung $CD$ có chiều dài $16$ song song với $AB.$ Một hình bán nguyệt nhỏ hơn có đường kính trên $AB$ và tiếp tuyến với $CD$ được cắt từ hình bán nguyệt lớn hơn, như được hiển thị bên dưới.



diện tích của hình kết quả, được tô bóng là gì?

Chuỗi $1,$ $x,$ $y,$ $z$ là số học. Chuỗi $1,$ $p,$ $q,$ $z$ có tính chất hình học. Cả hai chuỗi đều tăng nghiêm ngặt và chỉ chứa số nguyên và $z$ càng nhỏ càng tốt. Giá trị của $x + y + z + p + q?$ là bao nhiêu

Carlos sử dụng mật mã có chữ số $4$ để mở khóa máy tính của mình. Trong mật mã của anh ta, chính xác một chữ số là số chẵn, chính xác một chữ số (có thể khác nhau) là số nguyên tố và không có chữ số nào là $0.$ Có bao nhiêu mật mã $4$-chữ số thỏa mãn các điều kiện này?

Trong hình bên dưới, hình vuông bên ngoài chứa vô số hình vuông, mỗi hình vuông có cùng tâm và các cạnh song song với hình vuông bên ngoài. Tỷ lệ giữa chiều dài cạnh của hình vuông và chiều dài cạnh của hình vuông bên trong tiếp theo là $k,$ trong đó $0 \lt k \lt 1.$ Khoảng cách giữa các hình vuông được tô màu xen kẽ, như thể hiện trong hình (không nhất thiết phải được vẽ theo tỷ lệ).



diện tích của phần được tô bóng của hình là $64\%$ của diện tích của hình vuông ban đầu. $k?$ là gì

Sáu chiếc ghế được xếp xung quanh một chiếc bàn tròn. Hai học sinh và hai giáo viên chọn ngẫu nhiên bốn chiếc ghế để ngồi. xác suất mà hai học sinh sẽ ngồi ở hai ghế cạnh nhau và hai giáo viên cũng sẽ ngồi ở hai ghế cạnh nhau là bao nhiêu?

Trong hình bên dưới, $ABEF$ là một hình chữ nhật, $AD \perp DE,$ $AF = 7,$ $AB = 1,$ và $AD = 5.$ diện tích của $\triangle ABC?$ là gì

Có ba cái lọ. Mỗi đồng xu trong số ba đồng xu được đặt vào một trong ba lọ, được chọn ngẫu nhiên và độc lập với vị trí của các đồng xu khác. Số xu dự kiến ​​​​trong một lọ có nhiều xu nhất là bao nhiêu?

Giả sử $N$ là số nguyên dương duy nhất sao cho việc chia $273436$ cho $N$ để lại số dư của $16,$ và chia $272760$ cho $N$ để lại số dư của $15.$ chữ số hàng chục của $N?$ là gì

Hài hòa trung bình cộng của một tập hợp số là nghịch đảo của số học trung bình cộng của các nghịch đảo của các số trong tập hợp. Ví dụ: sóng hài trung bình cộng của $4,$ $4,$ và $5$ là

$$
\frac{1}{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{7}.
$$

Hài hòa trung bình cộng của tất cả các nghiệm thực của đa thức bậc $4050$ là gì

$$
\begin{gathered} \prod_{k=1}^{2025}(kx^2 - 4x - 3) \\ {}= (x^2 - 4x - 3) \\ \quad {}\cdot (2x^2 - 4x - 3) \\ \quad {}\cdot (3x^2 - 4x - 3)\cdots \\ \quad {}\cdot (2025x^2 - 4x - 3)? \end{gathered}
$$

Một mảng số được xây dựng bắt đầu bằng các số $-1,$ $3,$ $1$ ở hàng trên cùng. Mỗi cặp số liền kề được tính tổng để tạo ra một số ở hàng tiếp theo. Mỗi hàng sẽ bắt đầu và kết thúc bằng các số $-1$ và $1,$ tương ứng. Ba hàng đầu tiên được hiển thị dưới đây.



Nếu quá trình tiếp tục, một trong các hàng sẽ có tổng bằng $12{,}288.$ Trong hàng đó, số thứ ba từ bên trái là bao nhiêu?

Một silo (hình trụ tròn bên phải) có đường kính $20$ mét đứng trên một cánh đồng. MacDonald nằm $20$ mét về phía tây và $15$ mét về phía nam so với tâm silo. McGregor nằm $20$ mét về phía đông và $g \gt 0$ mét về phía nam của tâm silo. Đường ngắm giữa MacDonald và McGregor tiếp tuyến với silo. Giá trị của $g$ có thể được viết là $\dfrac{a\sqrt{b} - c}{d},$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số nguyên dương, $b$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào và $d$ tương đối nguyên tố với ước chung lớn nhất của $a$ và $c.$ $a + b + c + d?$ là gì