AMC 10B năm 2023

Bà Jones đang rót nước cam vào bốn chiếc cốc giống hệt nhau cho bốn đứa con trai của mình. Cô đổ đầy ba ly đầu tiên nhưng hết nước khi ly thứ tư chỉ đầy $\frac{1}{3}$. Bà Jones phải rót bao nhiêu phần ly từ mỗi ly trong số ba ly đầu tiên sang ly thứ tư để cả bốn ly đều có cùng một lượng nước ép?

Carlos đến cửa hàng thể thao để mua giày chạy bộ. Giày chạy bộ đang được giảm giá với giá giảm $20\%$ cho mỗi đôi giày. Carlos cũng biết rằng anh ấy phải trả $7.5\%$ thuế bán hàng cho mức giá chiết khấu. Anh ấy có $43$ đô la. Giá ban đầu (trước khi giảm giá) của đôi giày đắt nhất mà anh ấy có thể mua được là bao nhiêu?

A $3$-$4$-$5$ tam giác vuông được nội tiếp trong vòng tròn $A,$ và $5$-$12$-$13$ tam giác vuông được nội tiếp trong vòng tròn $B.$ Tỷ lệ của diện tích của vòng tròn $A$ so với diện tích của vòng tròn $B?$ là bao nhiêu

Cây cọ vẽ của Jackson tạo ra một dải hẹp có chiều rộng $6.5$ milimét. Jackson có đủ sơn để tạo thành một dải $25$ dài hàng mét. Jackson có thể phủ sơn lên bao nhiêu cm vuông tờ giấy?

Maddy và Lara nhìn thấy danh sách các con số được viết trên bảng đen. Maddy thêm $3$ vào mỗi số trong danh sách và thấy rằng tổng các số mới của cô ấy là $45.$ Lara nhân mỗi số trong danh sách với $3$ và thấy rằng tổng các số mới của cô ấy cũng là $45.$ Có bao nhiêu số được viết trên bảng đen?

Đặt $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ và $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ cho $n \ge 1.$ Có bao nhiêu số hạng trong dãy $L_1,$ $L_2,$ $L_3,$ $\ldots,$ $L_{2023}$ là số chẵn?

Hình vuông $ABCD$ được xoay $20^\circ$ theo chiều kim đồng hồ về tâm của nó để thu được hình vuông $EFGH,$ như hiển thị bên dưới. Thước đo độ của $\angle EAB?$ là gì

chữ số hàng đơn vị của $$
2022^{2023} + 2023^{2022}?
$$ là gì

Các số $16$ và $25$ là một cặp số chính phương dương liên tiếp có hiệu là $9.$ Có bao nhiêu cặp số chính phương dương liên tiếp có hiệu nhỏ hơn hoặc bằng $2023?$

Bạn đang chơi một trò chơi. Hình chữ nhật $2 \times 1$ bao phủ hai hình vuông liền kề (định hướng theo chiều ngang hoặc chiều dọc) của lưới hình vuông $3 \times 3$, nhưng bạn không được biết hai hình vuông nào được bao phủ. Mục tiêu của bạn là tìm ít nhất một hình vuông được bao phủ bởi hình chữ nhật. Một lượt chơi bao gồm việc bạn đoán một hình vuông, sau đó bạn được cho biết liệu hình vuông đó có bị hình chữ nhật ẩn che hay không. Bạn cần bao nhiêu lượt quay tối thiểu để đảm bảo rằng ít nhất một trong những ô vuông bạn đoán được bao phủ bởi hình chữ nhật?

Suzanne đến ngân hàng và rút $\$800.$ Nhân viên thu ngân đưa cho cô số tiền này bằng cách sử dụng các tờ tiền $\$20$, $\$50$ và các tờ tiền $\$100$, với ít nhất một trong mỗi mệnh giá. Suzanne có thể đã nhận được bao nhiêu bộ sưu tập hóa đơn khác nhau?

Khi các nghiệm của đa thức $$
P(x) = (x-1)^1(x-2)^2(x-3)^3 \cdots (x-10)^{10}
$$ bị loại bỏ khỏi trục số thực, phần còn lại là hợp của $11$ các khoảng mở rời rạc. Có bao nhiêu khoảng $P(x)$ dương?

diện tích của vùng trong mặt phẳng tọa độ được xác định bởi bất đẳng thức $$
\bigl||x| - 1\bigr| + \bigl||y| - 1\bigr| \le 1?
$$ là gì

Có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(m, n)$ thỏa mãn phương trình $$
m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2?
$$

Số nguyên dương nhỏ nhất $m$ sao cho $m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ là số chính phương?

Xác định *upno* là số nguyên dương của $2$ hoặc nhiều chữ số trong đó các chữ số tăng dần khi di chuyển từ trái sang phải. Tương tự, hãy xác định *downno* là số nguyên dương của $2$ hoặc nhiều chữ số trong đó các chữ số giảm dần khi di chuyển từ trái sang phải. Ví dụ: số $258$ là số upno và $8620$ là số downno. Đặt $U$ bằng tổng số upnos và đặt $D$ bằng tổng số downnos. $|U - D|?$ là gì

Hình hộp chữ nhật $\mathcal{P}$ có độ dài cạnh riêng biệt $a,$ $b,$ và $c.$ Tổng độ dài của tất cả $12$ cạnh của $\mathcal{P}$ là $13,$ tổng diện tích của tất cả $6$ mặt của $\mathcal{P}$ là $\frac{11}{2},$ và thể tích của $\mathcal{P}$ là $\frac{1}{2}.$ Độ dài của đường chéo trong dài nhất nối hai đỉnh của $\mathcal{P}?$ là bao nhiêu

Giả sử $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương sao cho $$
\frac{a}{14} + \frac{b}{15} = \frac{c}{210}.
$$ Câu nào sau đây nhất thiết phải đúng?

I. Nếu $\gcd(a, 14) = 1$ hoặc $\gcd(b, 15) = 1$ hoặc cả hai thì $\gcd(c, 210) = 1.$

II. Nếu $\gcd(c, 210) = 1,$ thì $\gcd(a, 14) = 1$ hoặc $\gcd(b, 15) = 1$ hoặc cả hai.

III. $\gcd(c, 210) = 1$ khi và chỉ khi $\gcd(a, 14) = \gcd(b, 15) = 1.$

Con ếch Sonya chọn ngẫu nhiên một điểm đồng nhất nằm trong hình vuông $[0, 6] \times [0, 6]$ trong mặt phẳng tọa độ và nhảy đến điểm đó. Sau đó, cô ấy chọn khoảng cách đồng đều ngẫu nhiên từ $[0, 1]$ và hướng đồng đều ngẫu nhiên từ $\{\text{north}, \text{south}, \text{east}, \text{west}\}.$ Tất cả các lựa chọn của cô ấy là độc lập. Bây giờ cô ấy nhảy khoảng cách theo hướng đã chọn. xác suất mà cô ấy hạ cánh bên ngoài hình vuông là gì?

Bốn hình bán nguyệt bằng nhau được vẽ trên bề mặt của một hình cầu có bán kính $2,$ như minh họa, tạo ra một đường cong khép kín chia bề mặt thành hai vùng bằng nhau. Độ dài của đường cong là $\pi\sqrt{n}.$ $n?$ là gì