SEAMO X 2023 — Paper E — Lớp 9–10

Các số nguyên $m,n$ thỏa mãn $5m+3=7n+5$ và $30\lt 5m+3\lt 50$. Tính tổng mọi giá trị có thể của $mn$.

Với số nguyên dương $a$, $\dfrac{2023}{a^2-2a-8}$ là số nguyên dương. Tìm $a$.

Tính $S=\sum_{n=1}^{700}\left\lfloor\dfrac{107n}{701}\right\rfloor$. (Ngoặc vuông trong nguồn chỉ phần nguyên.)

Có bao nhiêu số nguyên $n$, $0\lt n\le100$, khiến $n\cdot2^{n+2}+2$ chia hết cho $3$?

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n$ có giá trị trở thành $3n$ khi chuyển chữ số đầu xuống cuối.

Ba đường tròn bằng nhau, bán kính $r$, được vẽ tiếp xúc nhau và tiếp xúc đường tròn bán kính $R$ như hình. Viết $r=(a/b)R$ với $a,b$ nguyên tố cùng nhau. Tính $a+b$.

Bất đẳng thức $a^2-6a\le x^2-2x-7\le17-a^2$ đúng với mọi $x\in[-3,3]$. Nếu miền tham số là $k\le a\le l$, tính $k^2+l^2$.

Tìm tổng mọi số nguyên tố $p$ sao cho $q=p+2$ và $p^2+q^2+7$ cũng nguyên tố.

Andrew có $20$ viên kẹo. Mỗi ngày lúc $4$ giờ chiều, cậu ăn một hoặc hai viên. Lúc $7$ giờ, em Bob lấy một viên khi và chỉ khi số còn lại là bội dương của $3$. Có bao nhiêu cách ăn hết kẹo?

Andrew và Bob chơi luân phiên, Andrew trước. Túi có $3$ bóng trắng và $3$ bóng đen. Người đến lượt chọn số từ $2$ đến $6$; người kia rút ngẫu nhiên số bóng đó. Người đến lượt thắng nếu số bóng trắng nhiều hơn đen. Nếu không, trả mọi bóng và đổi lượt. Cả hai chọn chiến lược tốt nhất. Nếu xác suất Bob thắng là $a/b$ tối giản, tính $a+b$.

Có bao nhiêu tam giác vuông có độ dài các cạnh nguyên và diện tích bằng chu vi về giá trị số?

Tứ giác $ABCD$ có $AB=BC=CD$, $\angle ABC=90^\circ$, $\angle BCD=150^\circ$. Tìm $\angle BAD$.

Chia bảy thanh sôcôla khác nhau cho năm anh chị em, mỗi người nhận ít nhất một thanh. Có bao nhiêu cách chia?

Gọi $[a]$ là phần nguyên, $\{a\}$ là phần thập phân; ví dụ $[6.5]=6$, $\{6.5\}=0.5$. Nghiệm dương của $[x]^2=\{x\}x$ có dạng $x=(a+\sqrt b)/2$. Tính $a+b$.

Julian và Caleb luân phiên lấy một đồng hoặc hai đồng kề nhau từ hàng $n\ge1$ đồng đánh số $1$ đến $n$. Khoảng trống giữ nguyên; hai đồng bị ngăn bởi khoảng trống không kề nhau. Người lấy đồng cuối thắng. Julian đi trước. Tính tổng mọi $n\le10$ để Julian luôn thắng. Ví dụ: với $1,2,3$, được lấy một đồng bất kỳ hoặc cặp $(1,2),(2,3)$; với $1,3$, không được lấy cả cặp.