SEAMO X 2022 — Paper E — Lớp 9–10

Cho $\binom n{r-1}=715$, $\binom nr=1287$ và $\binom n{r+1}=1716$. Tìm $r$.

Một đồng xu không thiên lệch được điều chỉnh để xác suất ngửa ở lần tung thứ $n$ bằng $1/2^n$. Trong $10$ lần tung, gọi $p$ là xác suất đúng $9$ lần ngửa và $1$ lần sấp. Tính $2^{55}p$.

Một xe tải dài $6$ mét đi qua đường hầm. Nếu chiều dài xe tăng gấp đôi và vận tốc giảm $20\%$, thời gian để cả xe đi hết đường hầm tăng $50\%$. Tìm chiều dài đường hầm theo mét.

Trong tam giác $ABC$, $AB=9$, $BC=8$, $CA=7$. Phân giác $\angle BAC$ cắt $BC$ tại $D$. Đường tròn qua $A$, tiếp xúc $BC$ tại $D$, cắt lại $AB$ tại $X$ và $AC$ tại $Y$. Tính $XY$.

Gọi $\alpha,\beta$ là hai nghiệm của $x^2-20x-22=0$. Nếu $\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}+\dfrac{1-\beta}{1+\beta}=-m/n$, với $m,n$ nguyên dương nguyên tố cùng nhau, tính $m+n$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $y=(x^2+4x+5)(x^2+4x+1)+3x^2+12x+5$ với $x$ thực.

Tính tổng mọi phân số tối giản có mẫu $3$, lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $20$.

Có bao nhiêu phân số tối giản $p/q$ thỏa mãn $0\lt p/q\lt 1$ và $pq=20!$?

Phương trình $x|x-1|-4|x|+3=0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Chọn ngẫu nhiên một số trong tất cả các bội của $4000$. Xác suất số đó chia hết cho $25000$ là bao nhiêu?

Mười ba phân số sử dụng các số nguyên $1,2,\ldots,26$, mỗi số đúng một lần ở tử hoặc mẫu. Nhiều nhất bao nhiêu phân số rút gọn thành số nguyên?

Tam giác $ABC$ cân với $AB=AC$. Điểm $D$ trên $AC$ sao cho $BD$ là phân giác $\angle ABC$. Biết $BC=BD+AD$, tìm $\angle BAC$ theo độ.

Tev chọn năm số từ $\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Nếu biết tích, Terry vẫn không đủ thông tin để xác định tổng chẵn hay lẻ. Tìm tích năm số.

Các số nguyên tố $p,q$ sao cho $x^2-px+q=0$ có hai nghiệm nguyên dương khác nhau. Tính $p+q$.

Biết $\tan A=12/5$, $\cos B=-3/5$ và $A,B$ thuộc cùng góc phần tư. Tính $\cos(A-B)$.