SEAMO X 2020 — Paper E — Lớp 9–10

$1572,2448,3762$ có cùng số dư khi chia cho số nguyên dương hai chữ số $n$. Tìm $n$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ làm cho $3465+n^2$ là số chính phương?

Ba nửa đường tròn có đường kính là ba cạnh của một tam giác vuông. Mỗi miền ký hiệu $A,B,C,D,E$ có diện tích nguyên, tổng diện tích bằng $12$. Nếu $A+B$ nhỏ nhất, tìm $E$.

Cho $x=\dfrac{13}{\sqrt{19+8\sqrt3}}$, tính chính xác $A=\dfrac{x^4-6x^3-2x^2+18x+23}{x^2-8x+15}$.

Ba đường trung tuyến của một tam giác dài $15,15,18$. Viết chu vi dưới dạng $a+b\sqrt c$ với $a,b,c$ nguyên và $c$ nhỏ nhất theo dạng căn tối giản thông thường. Tính $a+b+c$.

Các số nguyên dương thỏa mãn $ab+bc=21$, $bc+ca=25$, $ca+ab=16$. Tính $30\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)$.

Cho $S_n=\dfrac{n^{99}+99^n}{10}$. Nếu $x$ là phần thập phân của $S_{2020}$, tính $10x$.

Tung xúc xắc cân đối sáu mặt cho đến lần đầu xuất hiện mặt $1$. Xác suất số lần tung là số lẻ bằng $p/q$ tối giản. Tính $p+q$.

Với $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, tính $S=\left\lfloor\frac{2^2}3\right\rfloor+\left\lfloor\frac{3^2}4\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{99^2}{100}\right\rfloor$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Phân giác $BD$ của $\angle ABC$ cắt $AC$ tại $D$. Cho $[ABD]=36$ cm² và $CD=12$ cm, tìm $AB$ theo cm.

Các số thực dương thỏa mãn $a+\lfloor b\rfloor+\{c\}=11.1$, $\lfloor a\rfloor+\{b\}+c=12.2$ và $\{a\}+b+\lfloor c\rfloor=13.3$, với $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. Tính $\lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor+\lfloor c\rfloor$.

Tìm phần nguyên của $A=\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt3}+\cdots+\dfrac1{\sqrt{100}}$.

Các số thực $x_1,\ldots,x_{100}$ thỏa mãn $x_1^2+2x_2^2+\cdots+100x_{100}^2=1$. Tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x_1+2x_2+\cdots+100x_{100}$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ để $(n^3-1)/5$ là số nguyên tố?

Với $x$ thực, đặt $f(x)=(19-x)(21-x)(19+x)(21+x)$. Nếu $k$ là giá trị nhỏ nhất, tính $|k|$.