SEAMO X 2019 — Paper E — Lớp 9–10

Tìm số dư khi chia $2019^1+2019^2+\cdots+2019^{2019}$ cho $101$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $2019-\dfrac{18}{x^2-4x+5}$ với $x$ thực.

Hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn, $E$ thuộc đường tròn. Cho $AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=200$ và diện tích đường tròn bằng $k\pi$, tìm $k$.

Có bao nhiêu bộ ba có thứ tự gồm các số nguyên không âm $(a,b,c)$ thỏa mãn $abc+ab+bc+ca+a+b+c=2019$?

Tính $N=\displaystyle\prod_{j=1}^{1009}\frac{\frac1{2j}-\frac1{2j+1}}{\frac1{2j+1}-\frac1{2j+2}}$. Hai thừa số đầu dùng $2,3,4$ và $4,5,6$; thừa số cuối dùng $2018,2019,2020$.

Tính $\dfrac{\tan50^\circ\tan60^\circ\tan70^\circ}{\tan50^\circ+\tan60^\circ+\tan70^\circ}$.

Nicholas chọn năm số khác nhau từ $41,47,48,56,64,67,78$, có trung bình là số nguyên. Biết đã chọn $47$ và $64$, tìm tổng ba số còn lại.

Hai đội cờ vua mỗi đội có $7$ người. Mỗi lần đấu một ván với một đại diện mỗi đội. Người thắng đấu tiếp, người thua bị loại và không được quay lại. Có bao nhiêu cách diễn biến cuộc thi?

Một số nguyên có $2019$ chữ số là $\overline{a_1a_2\ldots a_{2019}}$. Với mọi $i=1,\ldots,2018$, số hai chữ số $\overline{a_i a_{i+1}}$ gồm $3$ thừa số nguyên tố phân biệt. Tìm $a_{2019}$.

Trong hình $AB\perp BC$, $D\in AB$, $E\in BC$ và $BA+AE=BD+DC$. Cho $AD=2$, $BE=3$, $EC=4$, tính $BA+AE$.

Các số thực dương thỏa mãn $a\sqrt b=a+c$, $b\sqrt c=b+a$, $c\sqrt a=c+b$. Tính $a+2b+3c$.

Các số nguyên $a,b$ làm cho $\sqrt{4-2\sqrt3}$ là nghiệm của $x^2+ax+b=0$. Tính $a+b$.

Trong khai triển $(\sqrt x+2)^{2n+1}$, tìm tổng hệ số của các hạng tử có số mũ của $x$ là số nguyên. Biểu diễn đáp án theo $n$.

Với các số thực $a\gt 1,b\gt 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{\log_a2019+\log_b2019}{\log_{ab}2019}$.

Trong tam giác $ABC$, $\angle A=\alpha$, $CD,BE$ là các đường cao đến các đường thẳng $AB,AC$ tương ứng. Tìm $DE/BC$ theo $\alpha$.