MathNet 2021 — Phần 01

Câu hỏi 1

Giá trị của $\frac{(2112-2021)^2}{169}$ bằng bao nhiêu?

Câu hỏi 2

Giá trị của $1234 + 2341 + 3412 + 4123$ bằng bao nhiêu?

10,000
10,010
10,110
11,000
11,110

Câu hỏi 3

Biểu thức $\frac{2021}{2020} - \frac{2020}{2021}$ bằng phân số $\frac{p}{q}$, trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng $1$. Giá trị của $p$ bằng bao nhiêu?

1
9
2020
2021
4041

Câu hỏi 4

Cho $n = 8^{2022}$. Biểu thức nào sau đây bằng $\frac{n}{4}$?

$4^{1010}$
$2^{2022}$
$8^{2018}$
$4^{3031}$
$4^{3032}$

Số nguyên dương nhỏ nhất có đúng $2021$ ước nguyên dương phân biệt có thể viết dưới dạng $m \cdot 6^k$, trong đó $m$ và $k$ là các số nguyên và $m$ không chia hết cho $6$. Giá trị của $m + k$ bằng bao nhiêu?

Câu hỏi 6

Một số nguyên dương có hai chữ số được gọi là *đáng yêu* nếu nó bằng tổng của chữ số hàng chục khác $0$ và bình phương chữ số hàng đơn vị của nó. Có bao nhiêu số nguyên dương có hai chữ số là số đáng yêu?

Câu hỏi 7

Khi gieo một con xúc xắc không cân đối nhất định, khả năng xuất hiện số chẵn gấp $3$ lần khả năng xuất hiện số lẻ. Gieo con xúc xắc ấy hai lần. Xác suất để tổng hai số nhận được là số chẵn bằng bao nhiêu?

$\frac{3}{8}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{5}{9}$
$\frac{9}{16}$
$\frac{5}{8}$

Câu hỏi 8

Bốn mươi mảnh giấy đánh số từ $1$ đến $40$ được đặt trong một chiếc mũ. Alice và Bob mỗi người rút một số từ mũ, không hoàn lại, và giữ kín số của mình với người kia. Alice nói: “Tớ không biết ai có số lớn hơn.” Sau đó Bob nói: “Tớ biết ai có số lớn hơn.” Alice nói: “Cậu biết à? Số của cậu có phải là số nguyên tố không?” Bob đáp: “Có.” Alice nói: “Nếu vậy, khi tớ nhân số của cậu với $100$ rồi cộng số của tớ vào, kết quả là một số chính phương.” Tổng hai số đã rút từ mũ bằng bao nhiêu?

$27$
$37$
$47$
$57$
$67$

Câu hỏi 9

Emily nhìn thấy một con tàu di chuyển với vận tốc không đổi trên một đoạn sông thẳng. Cô đi bộ song song với bờ sông với vận tốc không đổi và nhanh hơn con tàu. Cô đếm được $210$ bước có độ dài bằng nhau khi đi từ phía đuôi tàu đến phía mũi tàu. Khi đi theo chiều ngược lại từ phía mũi tàu đến phía đuôi tàu, cô đếm được $42$ bước có cùng độ dài ấy. Nếu lấy độ dài một bước chân của Emily làm đơn vị thì chiều dài con tàu bằng bao nhiêu?

Câu hỏi 10

Một lục giác đều cạnh $1$ nội tiếp một đường tròn. Lấy ảnh đối xứng của mỗi cung nhỏ được xác định bởi một cạnh của lục giác qua chính cạnh ấy. Diện tích miền được giới hạn bởi $6$ cung đối xứng đó bằng bao nhiêu?

$\frac{5\sqrt{3}}{2} - \pi$
$3\sqrt{3} - \pi$
$4\sqrt{3} - \frac{3\pi}{2}$
$\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\pi + \sqrt{3}}{2}$

Câu hỏi 11

Điều kiện nào sau đây đủ để bảo đảm rằng các số nguyên $x$, $y$ và $z$ thỏa mãn phương trình
$$
x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)=1?
$$

$x \gt y$ và $y = z$
$x = y - 1$ và $y = z - 1$
$x = z + 1$ và $y = x + 1$
$x = z$ và $y - 1 = x$
$x + y + z = 1$

Câu hỏi 12

Một hình vuông cạnh $3$ nội tiếp một tam giác cân, với một cạnh của hình vuông nằm trên đáy của tam giác. Một hình vuông cạnh $2$ có hai đỉnh nằm trên hình vuông kia và hai đỉnh còn lại nằm trên các cạnh của tam giác, như hình vẽ. Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?
Hình minh họa câu hỏi

$19\frac{1}{4}$
$20\frac{1}{4}$
$21\frac{3}{4}$
$22\frac{1}{2}$
$23\frac{3}{4}$

Câu hỏi 13

Una gieo đồng thời $6$ con xúc xắc chuẩn có $6$ mặt và tính tích của $6$ số nhận được. Xác suất để tích đó chia hết cho $4$ bằng bao nhiêu?

$\frac{3}{4}$
$\frac{57}{64}$
$\frac{59}{64}$
$\frac{187}{192}$
$\frac{63}{64}$

Câu hỏi 14

Có bao nhiêu cặp số thực có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn hệ phương trình sau?
$$
\begin{aligned}
x^2+3y&=9\\
(|x|+|y|-4)^2&=1.
\end{aligned}
$$

Câu hỏi 15

Trong hình vuông $ABCD$, các điểm $P$ và $Q$ lần lượt nằm trên $\overline{AD}$ và $\overline{AB}$. Hai đoạn thẳng $\overline{BP}$ và $\overline{CQ}$ cắt nhau vuông góc tại $R$, với $BR=6$ và $PR=7$. Diện tích hình vuông bằng bao nhiêu?

Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 16

Tam giác cân $ABC$ có $AB=AC=3\sqrt6$, và một đường tròn bán kính $5\sqrt2$ tiếp xúc với đường thẳng $AB$ tại $B$ và với đường thẳng $AC$ tại $C$. Diện tích đường tròn đi qua các đỉnh $A$, $B$, $C$ bằng bao nhiêu?

$24\pi$
$25\pi$
$26\pi$
$27\pi$
$28\pi$

Câu hỏi 17

Năm quả bóng được xếp quanh một đường tròn. Chris chọn ngẫu nhiên hai quả bóng kề nhau và đổi chỗ chúng. Sau đó Silva làm tương tự, với lựa chọn cặp bóng kề nhau để đổi chỗ độc lập với lựa chọn của Chris. Số quả bóng kỳ vọng nằm ở vị trí ban đầu sau hai lần đổi chỗ liên tiếp này bằng bao nhiêu?

Câu hỏi 18

Hai đường thẳng phân biệt $\ell$ và $m$ nằm trong mặt phẳng $xy$ và cắt nhau tại gốc tọa độ. Điểm $P(-1,4)$ được lấy đối xứng qua đường thẳng $\ell$ thành điểm $P'$, rồi $P'$ được lấy đối xứng qua đường thẳng $m$ thành điểm $P''$. Phương trình của đường thẳng $\ell$ là $5x-y=0$, và tọa độ của $P''$ là $(4,1)$. Phương trình của đường thẳng $m$ là gì?

$5x + 2y = 0$
$3x + 2y = 0$
$x - 3y = 0$
$2x - 3y = 0$
$5x - 3y = 0$

Câu hỏi 19

Một kiến trúc sư xây một công trình có các cột thẳng đứng đặt tại các đỉnh của lục giác đều $ABCDEF$, nằm ngang trên mặt đất. Sáu cột sẽ đỡ một tấm pin mặt trời phẳng không song song với mặt đất. Chiều cao các cột tại $A$, $B$ và $C$ lần lượt là $12$, $9$ và $10$ mét. Chiều cao tính bằng mét của cột tại $E$ bằng bao nhiêu?

$9$
$6\sqrt{3}$
$8\sqrt{3}$
$17$
$12\sqrt{3}$

Câu hỏi 20

Ba tờ giấy hình vuông giống nhau, mỗi tờ có cạnh $6$, được xếp chồng lên nhau. Tờ ở giữa được quay $30^\circ$ theo chiều kim đồng hồ quanh tâm của nó, còn tờ trên cùng được quay $60^\circ$ theo chiều kim đồng hồ quanh tâm của nó, tạo thành đa giác $24$ cạnh trong hình dưới đây. Diện tích đa giác này có thể viết dưới dạng $a-b\sqrt c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương và $c$ không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Hình minh họa câu hỏi