VTMO 2021 — Lớp 9 — Cúp Titan

Tìm $k$ nguyên để mọi nghiệm $x^{2} - 2$ kx $+ 3 k + 2 = 0$ đều nguyên.

Tìm $\left(a , b , c\right)$ thực để $| ax$+by $+ cz | + | ay + bz + cx | + | az + bx + cy | = | x | + | y | + | z |$ với mọi $x , y , z$.

$a , b , c$ thực đôi một khác nhau. Tìm $\min P = \frac{\left(a - b\right)^{4}}{\left(b - c\right)^{2} \left(c - a\right)^{2}} + \frac{\left(b - c\right)^{4}}{\left(c - a\right)^{2} \left(a - b\right)^{2}} + \frac{\left(c - a\right)^{4}}{\left(a - b\right)^{2} \left(b - c\right)^{2}}$.

Ba đống sỏi $51 , 49 , 5$ viên. Mỗi lần gộp hai đống hoặc chia một đống chẵn thành hai đống bằng nhau. Số viên nhỏ nhất trong một đống có thể thu được là bao nhiêu?

$ABCD$ vuông nội tiếp $\left(O\right)$. $M$ là giữa cung nhỏ $CD , N \in AB , NA = 2 NB$. $MN$ cắt $\left(O\right)$ lần nữa tại $E$; $F$ đối xứng $E$ qua $AB$. $a ) FA = 2 FB$. $b ) DF = 3 FB$.