AMC 10B năm 2022

Xác định $x~\diamondsuit~ y$ là $|x-y|$ cho tất cả các số thực $x$ và $y.$ Giá trị của $$
(1~\diamondsuit~(2~\diamondsuit~3))-((1~\diamondsuit~2)~\diamondsuit~3)?
$$ là bao nhiêu

Trong hình thoi $ABCD,$ điểm $P$ nằm trên đoạn $\overline{AD}$ sao cho $\overline{BP} \perp \overline{AD},$ $AP = 3,$ và $PD = 2.$ diện tích của $ABCD?$ là gì

Có bao nhiêu số nguyên dương có ba chữ số có số lẻ các chữ số chẵn?

Một con lừa bị nấc cụt và lần nấc đầu tiên xảy ra vào lúc $4:00$ vào một buổi chiều. Giả sử con lừa nấc thường xuyên sau mỗi $5$ giây. Con lừa xảy ra tiếng nấc thứ $700$ vào thời điểm nào?

Giá trị của $$
\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?
$$ là bao nhiêu

Có bao nhiêu trong số mười số đầu tiên của dãy $$
121, 11211, 1112111, \ldots
$$ là số nguyên tố?

Với bao nhiêu giá trị của hằng số $k$ thì đa thức $x^{2}+kx+36$ sẽ có hai nghiệm số nguyên phân biệt?

Hãy xem xét các bộ $100$ sau đây của mỗi phần tử $10$: $$
\begin{gathered} \{1,2,3,\ldots,10\},\\ \{11,12,13,\ldots,20\},\\ \{21,22,23,\ldots,30\},\\ \vdots\\ \{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{gathered}
$$ Có bao nhiêu bộ trong số này chứa chính xác hai bội số của $7?$

Tổng $$
\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}
$$ có thể được biểu thị dưới dạng $a-\dfrac{1}{b!},$ trong đó $a$ và $b$ là số nguyên dương. $a+b?$ là gì

Camila viết ra năm số nguyên dương. Chế độ duy nhất của các số nguyên này là $2$ lớn hơn trung vị và trung vị là $2$ lớn hơn số học trung bình cộng của chúng. Giá trị nhỏ nhất có thể có của chế độ này là bao nhiêu?

Tất cả các trường trung học trong một khu học chánh lớn đều tham gia vào hoạt động bán áo phông gây quỹ. Lựa chọn nào dưới đây tương đương về mặt logic với câu “Không có trường nào lớn hơn Euclid HS bán nhiều áo phông hơn Euclid HS”?

Một cặp xúc xắc có mặt $6$ công bằng được tung ra $n$ lần. Giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho xác suất mà tổng các số ngửa trên một cuộn bằng $7$ ít nhất một lần lớn hơn $\dfrac{1}{2}?$

Hiệu dương giữa một cặp số nguyên tố bằng $2,$ và hiệu dương giữa lập phương của hai số nguyên tố là $31106.$ Tổng các chữ số của số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn hai số nguyên tố đó là bao nhiêu?

Giả sử rằng $S$ là tập hợp con của $\left\{ 1, 2, 3, \cdots, 25 \right\}$ sao cho tổng của hai phần tử (không nhất thiết phải khác biệt) bất kỳ của $S$ không bao giờ là phần tử của $S.$ Số phần tử tối đa $S$ có thể chứa là bao nhiêu?

Đặt $S_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng có chênh lệch chung là $2.$ Thương $\dfrac{S_{3n}}{S_n}$ không phụ thuộc vào $n.$ $S_{20}?$ là gì

Sơ đồ bên dưới thể hiện một hình chữ nhật có độ dài các cạnh $4$ và $8$ và một hình vuông có độ dài cạnh $5.$ Ba đỉnh của hình vuông nằm trên ba cạnh khác nhau của hình chữ nhật, như được hiển thị. diện tích của vùng bên trong cả hình vuông và hình chữ nhật là gì?

Một trong các số sau không phải là chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào nhỏ hơn $10.$ Đó là số nào?

Xem xét hệ gồm ba phương trình tuyến tính có ẩn số $x,$ $y,$ và $z,$ $$
\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z & = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z & = 0 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z & = 0 \end{cases}
$$ trong đó mỗi hệ số là $0$ hoặc $1$ và hệ có nghiệm khác $x=y=z=0.$ Ví dụ: một hệ như vậy là $$
\begin{cases} 1 x + 1 y + 0 z & = 0 \\ 0 x + 1 y + 1 z & = 0 \\ 0 x + 0 y + 0 z & = 0 \end{cases}
$$ với nghiệm khác 0 của $(x,y,z) = (1, -1, 1).$ Có bao nhiêu hệ phương trình như vậy? (Các phương trình trong một hệ không nhất thiết phải khác biệt và hai hệ chứa cùng phương trình nhưng theo thứ tự khác nhau được coi là khác nhau.)

Mỗi hình vuông trong lưới $5 \times 5$ được lấp đầy hoặc trống và có tối đa tám hình vuông lân cận, trong đó các hình vuông lân cận có chung một cạnh hoặc một góc. Lưới được biến đổi theo các quy tắc sau:

• Bất kỳ hình vuông nào được lấp đầy với hai hoặc ba ô lân cận được lấp đầy vẫn được lấp đầy.

• Bất kỳ hình vuông trống nào có chính xác ba ô liền kề được lấp đầy sẽ trở thành một hình vuông được lấp đầy.

• Tất cả các ô vuông khác vẫn trống hoặc trở nên trống.

Một phép biến đổi mẫu được thể hiện trong hình dưới đây.



Giả sử lưới $5 \times 5$ có đường viền gồm các ô vuông trống bao quanh lưới con $3 \times 3$. Có bao nhiêu cấu hình ban đầu sẽ dẫn đến một lưới được chuyển đổi bao gồm một hình vuông được tô đầy ở giữa sau một lần chuyển đổi? (Xoay và phản xạ của cùng một cấu hình được coi là khác nhau.)

Đặt $ABCD$ là hình thoi với $\angle ADC = 46^\circ.$ Đặt $E$ là trung điểm của $\overline{CD},$ và đặt $F$ là điểm trên $\overline{BE}$ sao cho $\overline{AF}$ vuông góc với $\overline{BE}.$ Số đo độ là bao nhiêu của $\angle BFC?$