VTMO 2017 — Lớp 9 — Chung kết

Xe dự định đi $80 \,\mathrm{km}$. Do mưa, $\frac{1}{4}$ đường đầu chậm hơn dự định $15 \frac{\,\mathrm{km}}{h}$, phần còn lại nhanh hơn $10 \frac{\,\mathrm{km}}{h}$, vẫn đúng thời gian. Tính thời gian dự định.

Tìm số nguyên tố $p , q$ thỏa $2 p + 6 q = \left(p - q\right)^{3}$.

$a , b$ nguyên; $x^{2} + ax + 1 - b = 0$ có hai nghiệm nguyên khác $0$. Chứng minh $a^{2} + b^{2}$ hợp số.

Hình thang cân $ABCD , AB \parallel CD , AB \lt CD$, nội tiếp $\left(O\right)$. $K = AC \cap BD$; $M , N , P , Q$ là tâm ngoại tiếp $KAB , KCD , KAD , KBC$. $a ) MQNP$ là bình hành. $b ) KM = ON$.

$ABC$ không cân, $BC$ nhỏ nhất. $D \in AB , E \in AC , BD = CE = BC$; $BE \cap CD = M$; $MH \perp BC$; $AM \cap BC = K$. $a ) BH = \frac{BC + BA - AC}{2}$. $b$)Nếu $AB + AC = 3 BC$, chứng minh $CK = BH$.

Một số siêu chẵn nếu mọi chữ số đều chẵn. Có bao nhiêu số siêu chẵn $4$ chữ số mà nhân $3$ vẫn siêu chẵn?