VTMO 2013 — Lớp 9 — Chung kết

Tìm số thực $a$ để $x^{2} - ax - a + 2 = 0$ có nghiệm nguyên.

$a \ge b \ge c \gt 0$. Chứng minh $\left(a - b + c\right) \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 1$.

$p \gt q \gt 2$ là hai số nguyên tố liên tiếp. Chứng minh $p + q$ có ít nhất $4$ ước nguyên dương.

$ABC$ cân tại $A , AH$ là đường cao. $M \in HC , M \ne H , C$; $E , F$ là hình chiếu $M$ lên $AC , AB$; $O$ là trung điểm $AM$. Chứng minh $HO \perp EF$.

$ABCD$ ngoại tiếp $\left(O\right)$. $M , N , P , Q$ là tiếp điểm trên $AB , BC , CD , DA$. $I = NQ \cap AC$. $a$)Chứng minh $\frac{IA}{IC} = \frac{QA}{NC}$. $b$)Chứng minh $AC , BD , MP , NQ$ đồng quy.