VTMO 2017 — Lớp 8 — Chung kết

$a$)Tìm $n$ nguyên dương nhỏ nhất để $\left(n + 1\right) \left(n + 2\right) \left(n + 3\right) \left(n + 4\right)$ chia hết $1000$. $b$)Chứng minh $a^{4} + 324 b^{4}$ không nguyên tố với $a , b$ nguyên dương.

$\left(a + b\right) \left(c + d\right) = 2 , \left(a + c\right) \left(b + d\right) = 3 , \left(a + d\right) \left(b + c\right) = 4 , a , b , c , d$ thực. Tìm $\min \left(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}\right)$.

Tàu chạy $A$→$B$. Nếu giảm $25 \%$ tốc độ từ khi phát hiện lỗi thì trễ $1 h = 20$ ph. Nếu chạy tốc độ cũ thêm $40 \,\mathrm{km}$ rồi giảm $25 \%$ thì trễ $1 h$. Tính tốc độ cũ.

$ABCD$ bình hành, $E , F \in AB , E$ giữa $A , F$; $M = DE \cap CF$. $a ) S_{ADM} + S_{BCM} = S_{DFC}$. $b ) S_{MAB} = S_{MDF}$.

$ABCD$ bình hành $AB \gt AD , E \in AB , AE = AD , F = DE \cap AC , K \in EF , M = AK \cap BC , N = CK \cap AB$. Chứng minh $AN = CM$.

Điền số nguyên $1 , \ldots , 10$ vào bảng $10 \times 10$. Hai ô chung cạnh hoặc đỉnh chứa số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh một số xuất hiện ít nhất $17$ lần.