AMC 10D năm 2021

Giá trị của $$
1234 + 2341 + 3412 + 4123?
$$ là bao nhiêu

diện tích của hình được tô bóng dưới đây là gì?

Biểu thức $$
\dfrac{2021}{2020} - \dfrac{2020}{2021}
$$ bằng phân số $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất là $1.$ $p?$ là gì

Vào buổi trưa của một ngày nhất định, Minneapolis ấm hơn $N$ độ so với St. Louis. Tại $4{:}00$ nhiệt độ ở Minneapolis đã giảm $5$ độ trong khi nhiệt độ ở St. Louis đã tăng $3$ độ, lúc đó nhiệt độ ở hai thành phố chênh lệch nhau $2$ độ. Tích của tất cả các giá trị có thể có của $N?$ là bao nhiêu?

Đặt $n=8^{2022}.$ Giá trị nào sau đây bằng $\frac{n}{4}?$

Số nguyên dương nhỏ nhất có chính xác $2021$ ước số dương riêng biệt có thể được viết dưới dạng $m \cdot 6^k,$ trong đó $m$ và $k$ là số nguyên và $6$ không phải là ước số của $m.$ $m+k?$

Gọi một phân số $\frac{a}{b},$ không nhất thiết phải ở dạng đơn giản nhất, *đặc biệt* nếu $a$ và $b$ là các số nguyên dương có tổng là $15.$ Có bao nhiêu số nguyên riêng biệt có thể được viết thành tổng của hai, không nhất thiết phải khác nhau, các phân số đặc biệt?

Số nguyên tố lớn nhất là ước của $16{,}384$ là $2$ vì $16{,}384 = 2^{14}.$ Tổng các chữ số của số nguyên tố lớn nhất là ước của $16{,}383?$ là bao nhiêu

Các hiệp sĩ ở một vương quốc nào đó có hai màu. $\frac{2}{7}$ trong số chúng có màu đỏ và phần còn lại có màu xanh lam. Hơn nữa, $\frac{1}{6}$ hiệp sĩ là phép thuật, và tỷ lệ hiệp sĩ đỏ có phép thuật là $2$ lần tỷ lệ hiệp sĩ xanh là phép thuật. Có bao nhiêu hiệp sĩ đỏ có phép thuật?

Bốn mươi tờ giấy được đánh số từ $1$ đến $40$ được đặt trong một chiếc mũ. Alice và Bob mỗi người rút một số từ chiếc mũ mà không thay thế, giữ kín các số của họ với nhau. Alice nói: “Tôi không thể biết ai có số lớn hơn”. Sau đó Bob nói: “Tôi biết ai có số lớn hơn”. Alice nói, "Bạn biết không? Số của bạn có phải là số nguyên tố không?" Bob trả lời: “Có.” Alice nói: “Trong trường hợp đó, nếu tôi nhân số của bạn với $100$ và cộng số của tôi thì kết quả là số chính phương.” Tổng của hai số rút ra từ chiếc mũ là bao nhiêu?

Một hình lục giác đều có chiều dài cạnh $1$ được nội tiếp trong một hình tròn. Mỗi cung nhỏ của đường tròn xác định bởi một cạnh của hình lục giác sẽ được phản chiếu lên cạnh đó. diện tích của vùng được giới hạn bởi các cung phản xạ $6$ này là gì?

Điều kiện nào sau đây đủ để đảm bảo rằng các số nguyên $x,$ $y,$ và $z$ thỏa mãn phương trình $$
x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)
$$$$
= 1?
$$

Một hình vuông có chiều dài cạnh $3$ được nội tiếp trong tam giác cân với một cạnh của hình vuông dọc theo đáy của tam giác. Một hình vuông có chiều dài cạnh $2$ có hai đỉnh trên hình vuông kia và hai đỉnh còn lại trên các cạnh của tam giác, như được hiển thị. diện tích của tam giác là gì?

Una tung đồng thời xúc xắc có mặt $6$ tiêu chuẩn $6$ và tính tích của các số $6$ thu được. xác suất của sản phẩm là chia hết cho $4?$

Trong hình vuông $ABCD,$ điểm $P$ và $Q$ lần lượt nằm trên $\overline{AD}$ và $\overline{AB},$. Các đoạn $\overline{BP}$ và $\overline{CQ}$ cắt nhau vuông góc tại $R,$ với $BR = 6$ và $PR = 7.$ diện tích của hình vuông là gì?

Năm quả bóng được sắp xếp xung quanh một vòng tròn. Chris chọn ngẫu nhiên hai quả bóng liền kề và hoán đổi chúng cho nhau. Sau đó, Silva cũng làm như vậy, với phương án quả bóng liền kề của cô ấy để trao đổi độc lập với quả bóng của Chris. Hỏi số quả bóng dự kiến ​​sẽ chiếm giữ vị trí ban đầu sau hai lần chuyển vị liên tiếp này là bao nhiêu?

Các đường riêng biệt $\ell$ và $m$ nằm trong mặt phẳng $xy$. Chúng cắt nhau tại gốc tọa độ. Điểm $P(-1, 4)$ được phản ánh qua đường $\ell$ đến điểm $P',$ và sau đó $P'$ được phản ánh qua đường $m$ đến điểm $P''.$ Phương trình của đường thẳng $\ell$ là $5x - y = 0,$ và tọa độ của $P''$ là $(4,1).$ Phương trình của đường thẳng $m?$ là gì

Ba tờ giấy hình vuông giống hệt nhau có chiều dài cạnh $6$ được xếp chồng lên nhau. Bảng ở giữa được xoay theo chiều kim đồng hồ $30^\circ$ về tâm của nó và bảng trên cùng được xoay theo chiều kim đồng hồ $60^\circ$ về tâm của nó, dẫn đến đa giác có cạnh $24$ được hiển thị trong hình bên dưới.

diện tích của đa giác này có thể được biểu thị dưới dạng $a-b\sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. $a+b+c?$ là gì

Đặt $N$ là số nguyên dương $7777\ldots777,$ a $313$-chữ số trong đó mỗi chữ số là một $7.$ Đặt $f(r)$ là chữ số đứng đầu của $r$th căn của $N.$ $$
\begin{aligned} &f(2)+f(3)+f(4)\\ &\quad{}+f(5)+f(6)? \end{aligned}
$$ là gì

Trong một trò chơi cụ thể, mỗi người chơi trong số $4$ tung ra một con súc sắc có mặt $6$ tiêu chuẩn. Người chiến thắng là người chơi tung được số cao nhất. Nếu hòa ở lượt quay cao nhất, những người tham gia hòa sẽ quay lại và quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi một người chơi thắng. Hugo là một trong những người chơi trong trò chơi này. xác suất lần tung đầu tiên của Hugo là $5,$ khi anh ấy thắng trò chơi là bao nhiêu?