VTMO 2015 — Lớp 8 — Chung kết

$f \left(x\right) = x^{2016} + 2 x^{2015} - 3 x + 4 , g \left(x\right) = x^{2} + 3 x + 2$. Tìm đa thức dư $f$ chia $g$.

$a , b , c$ đôi một khác nhau. Rút gọn $\frac{\frac{1}{\left(a - b\right)^{2}} + \frac{1}{\left(b - c\right)^{2}} + \frac{1}{\left(c - a\right)^{2}}}{\left[\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c} + \frac{1}{c - a}\right]^{2}}$.

$x = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 bc} , y = \frac{a^{2} - \left(b - c\right)^{2}}{\left(b + c\right)^{2} - a^{2}}$. Tính $P = x + y + xy$.

$ABC$ nhọn, $AB \lt AC$; $AD$ phân giác, $AM$ trung tuyến, $D , M \in BC$. $CH \perp AD , H \in AD$; $HM \cap AC = N , CH \cap AM = E , ED \cap AB = F$. $a ) N$ trung điểm $AC$. $b ) DFA$ cân.

Tàu dầu $B$ cách tàu hàng $A = 100 \,\mathrm{km}$ về phía Bắc. $A$ đi Tây-Bắc $20 \frac{\,\mathrm{km}}{h} , B$ đi Đông-Nam $30 \frac{\,\mathrm{km}}{h}$. Khi gần nhau nhất, $A$ đã đi bao xa?

Bốn quả cầu khối lượng $1 g , 2 g , 3 g , 5 g$. Cân điện tử cân mọi khối lượng. Chứng minh đúng $2$ lần cân xác định từng quả.